Sayı sistemleri ve taban kavramı (onluk, ikilik, sekizlik, onaltılık); basamak değeri ve taban çevirmeleri (ikilikten onluğa, onluktan ikiliğe—ardışık bölme, onaltılık ve A–F rakamları); bilgisayarda bit, bayt (8 bit) ve veri birimleri (KB, MB, GB, TB); karakterlerin sayılarla kodlanması (ASCII, Unicode), renklerin RGB ve onaltılık kodları (#FF0000); mantık kapıları (VE, VEYA, DEĞİL); şifrelemenin tarihi ve amacı (gizlilik, bütünlük, kimlik doğrulama); klasik şifreleme yöntemleri: Sezar şifresi (kaydırma), yer değiştirme şifreleri, Vigenère; modüler aritmetik (mod 29, saat aritmetiği) ve Sezar şifresinin formülü; frekans analizi ile şifre kırma; modern şifreleme (simetrik ve asimetrik anahtar, açık anahtar, RSA’nın asal sayılara dayanması), güçlü şifre ve kombinasyon sayısı hesabı, iki adımlı doğrulama.
Sayı sistemleri
Taban: Bir sayı sisteminde kullanılan rakam sayısı
- Onluk (10): 0–9 · İkilik (2): 0, 1 · Sekizlik (8): 0–7 · Onaltılık (16): 0–9 ve A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15
İkilikten onluğa: Basamak değerleri 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (2’nin kuvvetleri)
- 1101₂ = 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 13
Onluktan ikiliğe (ardışık bölme): 13 ÷ 2 = 6 kalan 1, 6 ÷ 2 = 3 kalan 0, 3 ÷ 2 = 1 kalan 1, 1 ÷ 2 = 0 kalan 1 → kalanlar aşağıdan yukarı: 1101₂
Onaltılık: 2F₁₆ = 2·16 + 15 = 47
Bilgisayarda:
- Bit: 0 veya 1 · Bayt: 8 bit → 2⁸ = 256 farklı değer
- KB, MB, GB, TB (yaklaşık bin katı; tam olarak 1024)
- ASCII/Unicode: Her karakter bir sayıyla kodlanır (“A” = 65).
- Renkler (RGB): Kırmızı-yeşil-mavi 0–255 → #FF0000 = saf kırmızı
| Basamak değeri | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 1101₂ | 1 | 1 | 0 | 1 |
| Toplam | 8 | 4 | 0 | 1 |
Klasik şifreleme ve modüler aritmetik
Şifreleme (kriptografi): Bilginin yalnızca yetkili kişilerce okunabilmesi için dönüştürülmesi
- Amaçlar: Gizlilik, bütünlük (değiştirilmediğinin kontrolü), kimlik doğrulama
Sezar şifresi: Her harf alfabede belirli sayıda (anahtar) kaydırılır.
- Türk alfabesinde 29 harf vardır; harflere 0–28 numara verilir (A=0, B=1, C=2, Ç=3, …).
- Şifreleme: C = (P + k) mod 29 · Çözme: P = (C − k) mod 29
- Örnek (k = 3): A → Ç, B → D … (sona gelince başa döner)
Modüler aritmetik (saat aritmetiği): Bir sayının bölümden kalanı
- 31 mod 29 = 2; saatte 10 + 5 = 15 → 15 mod 12 = 3
Frekans analizi: Bir dilde en sık kullanılan harflerin (Türkçede a, e, i) şifreli metindeki en sık sembollerle eşleştirilmesi → Sezar gibi basit şifreler kolayca kırılır.
Vigenère şifresi: Her harf farklı kaydırma miktarıyla şifrelenir (anahtar kelime) → frekans analizine daha dayanıklı
Modern şifreleme ve güçlü şifre
Simetrik şifreleme: Aynı anahtar hem şifreler hem çözer; anahtarın güvenle paylaşılması sorun
Asimetrik (açık anahtarlı) şifreleme: Açık anahtar (herkese verilir) ile şifrelenir, yalnızca gizli anahtar ile çözülür.
- RSA: Çok büyük iki asal sayının çarpımını çarpanlarına ayırmanın çok zor olmasına dayanır.
- İnternet bankacılığı, https bağlantıları, e-imza
Güçlü şifre ve kombinasyon:
- Yalnızca 4 haneli rakam: 10⁴ = 10.000 olasılık
- Küçük harf (29) ile 8 karakter: 29⁸ ≈ 5 × 10¹¹
- Büyük-küçük harf, rakam ve sembollerle (~90 karakter) 12 karakter: 90¹² ≈ 2,8 × 10²³ → kaba kuvvetle kırmak çok uzun sürer.
İki adımlı doğrulama: Şifreye ek olarak telefona gelen kod → güvenliği artırır.
Mantık kapıları: Bilgisayar devreleri VE (iki giriş 1 ise 1), VEYA (en az biri 1 ise 1), DEĞİL (tersi) kapılarıyla çalışır.
Kavramlar
- taban
- sayı sistemindeki rakam sayısı
- bit
- ikilik basamak
- mod
- bölümden kalan
- anahtar
- şifreleme parametresi
- frekans analizi
- harf sıklığıyla şifre çözme
- İkilikte basamak değerleri 2’nin kuvvetleri
- Onluktan ikiliğe ardışık bölme; kalanlar aşağıdan yukarı
- Onaltılıkta A–F = 10–15; 1 bayt = 8 bit = 256 değer
- Sezar şifresi: C = (P + k) mod 29
- Frekans analizi basit şifreleri kırar
- RSA büyük asal sayılara dayanır; uzun ve karışık şifre daha güvenli
Örnek soru ve çözümü
Tabloya göre 1101₂ sayısını onluğa çevir. Ardından onluk 25 sayısını ikiliğe çevir.
| Basamak değeri | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 1101₂ | 1 | 1 | 0 | 1 |
| Toplam | 8 | 4 | 0 | 1 |
1101₂ = 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13. 25’i ikiliğe çevirmek için ardışık bölme: 25 ÷ 2 = 12 kalan 1; 12 ÷ 2 = 6 kalan 0; 6 ÷ 2 = 3 kalan 0; 3 ÷ 2 = 1 kalan 1; 1 ÷ 2 = 0 kalan 1. Kalanlar aşağıdan yukarı okunur: 11001₂. Kontrol: 16 + 8 + 1 = 25.
Çözümlü örnekler
1. Bir bayt kaç bittir? Kolay
Çözüm8 bit.
2. Onaltılık 1A sayısı onlukta kaçtır? Orta
Çözüm1·16 + 10 = 26.
3. Türk alfabesinde (29 harf, A=0) anahtar k = 5 ile Sezar şifresinde “Z” (28) harfi neye dönüşür? Zor
Çözüm(28 + 5) mod 29 = 33 mod 29 = 4 → 4 numaralı harf “D” olur (A=0, B=1, C=2, Ç=3, D=4).
Sık yapılan hatalar
- İkiliğe çevirirken kalanları yukarıdan aşağı okumak.
- Onaltılıkta 10’dan büyük rakamları iki basamak sanmak.
- Kısa ve tahmin edilebilir şifrelerin güvenli olduğunu sanmak.
Biliyor muydun?
II. Dünya Savaşı’nda Enigma şifresinin kırılması, savaşın yaklaşık iki yıl kısalmasına katkı sağladığı düşünülen büyük bir matematik başarısıydı!