Kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen, yamuk ve deltoid alan formülleri; köşegenlerle alan; paralelkenarda iki kenar ve aradaki açıyla alan; alanı parçalara ayırma; yamukta orta taban ile alan; düzgün altıgen alanı; alan problemleri (fayans, arsa, bahçe).
Alan formülleri
| Şekil | Alan |
|---|---|
| Kare | a² · ya da köşegen²/2 |
| Dikdörtgen | a · b |
| Paralelkenar | taban · yükseklik · ya da a·b·sin α |
| Eşkenar dörtgen | taban · yükseklik · ya da (e · f)/2 (köşegenler) |
| Yamuk | (a + c)/2 · h = orta taban · yükseklik |
| Deltoid | (e · f)/2 |
| Köşegenleri dik herhangi dörtgen | (e · f)/2 |
| Düzgün altıgen | 3a²√3/2 |
Örnek: Şekildeki yamuk: (5 + 9)/2 · 4 = 28
Alan problemlerinde stratejiler
- Şekli bilinen parçalara (üçgen, dikdörtgen) ayır veya büyük bir şekilden çıkar.
- Yükseklik gerekiyorsa dik indir; dik üçgende Pisagor veya özel açıları kullan.
- Paralelkenarda bir köşegen alanı iki eşit üçgene ayırır; iki köşegen dört eşit alanlı üçgen oluşturur.
- Yamukta köşegenlerin oluşturduğu yan üçgenlerin alanları eşittir.
Örnek: Kenarları 6 ve 10 olan paralelkenarda aralarındaki açı 30° → A = 6 · 10 · sin 30° = 30
Örnek: Köşegenleri 8 ve 14 olan deltoid → A = 8 · 14 / 2 = 56
Gerçek hayat
Fayans: 4 m × 3 m’lik bir odaya 20 cm × 20 cm’lik fayans → oda 120 000 cm², fayans 400 cm² → 300 fayans (fire hesaba katılmadan)
Arsa: Yamuk biçimli bir arsanın paralel kenarları 30 m ve 50 m, aralarındaki uzaklık 20 m → 800 m²
Boya: Duvarın 1 m²’si için 0,2 L boya gerekiyorsa 3 m × 5 m’lik duvar (1 m × 2 m kapı hariç) → (15 − 2) · 0,2 = 2,6 L
Kavramlar
- alan
- yüzeyin büyüklüğü
- yükseklik
- tabana dik uzaklık
- köşegen
- karşı köşeleri birleştiren doğru parçası
- orta taban
- yamukta (a + c)/2
- fire
- kesimde oluşan kayıp
- Paralelkenar: taban·yükseklik = a·b·sin α
- Eşkenar dörtgen ve deltoid: (e·f)/2
- Yamuk: (a + c)/2 · h
- Kare: a² = köşegen²/2
- Karmaşık şekilleri parçalara ayır veya çıkar
- Paralelkenarda köşegenler 4 eş alanlı üçgen oluşturur
Örnek soru ve çözümü
Köşegeni 10 cm olan karenin alanı kaçtır?
A = köşegen²/2 = 100/2 = 50 cm².
Çözümlü örnekler
1. Tabanı 12, yüksekliği 5 olan paralelkenarın alanı kaçtır? Kolay
Çözüm60.
2. Tabanları 8 ve 12, yüksekliği 6 olan yamuğun alanı kaçtır? Orta
Çözüm(8 + 12)/2 · 6 = 60.
3. Kenarı 10 olan eşkenar dörtgenin bir açısı 60° ise alanı kaçtır? Zor
Çözüm10 · 10 · sin 60° = 50√3.
Sık yapılan hatalar
- Paralelkenarda yan kenarı yükseklik sanmak.
- Yamuk alanında tabanları toplayıp 2’ye bölmeyi unutmak.
- Birimleri dönüştürmeden işlem yapmak (cm² ile m²).
Biliyor muydun?
Eski Mısır’da Nil taşkınlarından sonra tarla sınırları kaybolunca alanların yeniden ölçülmesi gerekiyordu; “geometri” (yer ölçümü) bilimi kısmen bu ihtiyaçtan doğdu!