Dörtgenin genel özellikleri (iç açılar 360°); yamuk, ikizkenar ve dik yamuk; orta taban; paralelkenarın açı, kenar ve köşegen özellikleri; eşkenar dörtgen (köşegenler dik ve açıortay); dikdörtgen ve kare (köşegenler eşit); deltoid; özel dörtgenler arasındaki ilişkiler.
Yamuk
Yamuk: En az iki kenarı paralel dörtgen (tabanlar)
- Aynı yan kenara komşu iki açının toplamı 180°
- Orta taban (yan kenarların orta noktalarını birleştiren): (a + c)/2, tabanlara paraleldir.
- İkizkenar yamuk: Yan kenarlar eşit → taban açıları eşit, köşegenler eşit
- Dik yamuk: Bir yan kenar tabanlara dik
Örnek: Tabanları 5 ve 9 olan yamuğun orta tabanı (5 + 9)/2 = 7
Paralelkenar ve eşkenar dörtgen
Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel
- Karşılıklı kenarlar eşit, karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar toplamı 180°
- Köşegenler birbirini ortalar (ama genellikle eşit ve dik değildir)
Eşkenar dörtgen: Tüm kenarları eşit paralelkenar
- Köşegenler birbirini dik keser ve ortalar
- Köşegenler köşe açılarının açıortayıdır
- Kenar: a² = (e/2)² + (f/2)² → köşegenleri 6 ve 8 → kenar 5
Dikdörtgen, kare, deltoid ve ilişkiler
Dikdörtgen: Tüm açıları 90° paralelkenar → köşegenler eşit ve birbirini ortalar; köşegen = √(a² + b²)
Kare: Hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen → köşegenler eşit, dik, birbirini ortalar ve açıortay; köşegen = a√2
Deltoid: İki çift ardışık kenarı eşit dörtgen → köşegenler dik; simetri ekseni olan köşegen diğerini ortalar
İlişkiler (her kare…):
- Her kare bir dikdörtgendir, her dikdörtgen bir paralelkenardır.
- Her kare bir eşkenar dörtgendir; her eşkenar dörtgen bir paralelkenar ve bir deltoiddir.
- Her paralelkenar bir yamuktur (TYMM tanımına göre en az bir çift paralel kenar).
| Dörtgen | Köşegenler eşit | Köşegenler dik | Birbirini ortalar |
|---|---|---|---|
| Paralelkenar | ✗ | ✗ | ✓ |
| Dikdörtgen | ✓ | ✗ | ✓ |
| Eşkenar dörtgen | ✗ | ✓ | ✓ |
| Kare | ✓ | ✓ | ✓ |
| Deltoid | ✗ | ✓ | biri diğerini |
Kavramlar
- yamuk
- en az bir çift paralel kenarlı dörtgen
- orta taban
- yan kenarların orta noktalarını birleştiren
- paralelkenar
- karşılıklı kenarları paralel dörtgen
- eşkenar dörtgen
- tüm kenarları eşit paralelkenar
- deltoid
- iki çift ardışık kenarı eşit dörtgen
- Dörtgenin iç açıları toplamı 360°
- Yamukta orta taban (a + c)/2
- Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar
- Eşkenar dörtgende köşegenler dik ve açıortay
- Dikdörtgende köşegenler eşit; karede eşit ve dik
- Deltoidde köşegenler dik
Örnek soru ve çözümü
Bir paralelkenarın bir açısı diğerinin 2 katıdır. Açıları bulunuz.
Ardışık açılar toplamı 180° → x + 2x = 180 → x = 60 → açılar 60°, 120°, 60°, 120°.
Çözümlü örnekler
1. Köşegenleri 10 ve 24 olan eşkenar dörtgenin bir kenarı kaçtır? Kolay
Çözüm√(25 + 144) = 13.
2. İkizkenar yamukta bir taban açısı 70° ise diğer açılar nedir? Orta
Çözüm70°, 110°, 110°.
3. Kenarları 6 ve 8 olan dikdörtgenin köşegenleri kesişim noktasının köşelere uzaklığı kaçtır? Zor
ÇözümKöşegen 10, birbirini ortalar → 5.
Sık yapılan hatalar
- Paralelkenarda köşegenlerin eşit olduğunu sanmak.
- Her eşkenar dörtgeni kare sanmak.
- Orta tabanı tabanların farkının yarısı sanmak (toplamın yarısı).
Biliyor muydun?
Uçurtmaların klasik şekli deltoiddir; köşegenlerin dik kesişmesi uçurtmanın çıtalarının dik çakılmasıyla birebir aynıdır!