Benzerlik kavramı ve benzerlik oranı; AA, KAK, KKK benzerlik kuralları; temel benzerlik teoremi (tabana paralel doğru) ve Tales; kelebek benzerliği; dik üçgende benzerlik ve Öklid bağıntıları; benzer üçgenlerde çevre, alan ve yardımcı eleman oranları; ölçek ve uzaklık problemleri.
Benzerlik kuralları
Benzer üçgenler: Karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılı üçgenler → △ABC ∼ △DEF, oran k
| Kural | Koşul |
|---|---|
| AA | İki açı eşit |
| KAK | İki kenar orantılı, aradaki açılar eşit |
| KKK | Üç kenar orantılı |
Benzer üçgenlerde:
- Çevreler oranı = k
- Karşılıklı yükseklik, kenarortay, açıortay oranları = k
- Alanlar oranı = k²
⚠️ Kenarları eşleştirirken eşit açıların karşısındaki kenarlar birbirine karşılık gelir.
Temel benzerlik ve kelebek
Temel benzerlik teoremi: △ABC’de DE ∥ BC (D ∈ AB, E ∈ AC) ise
|AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC|
⚠️ |AD|/|DB| = |AE|/|EC| (Tales) ama |DE|/|BC| ≠ |AD|/|DB|
Örnek: |AD| = 4, |DB| = 2, |BC| = 12 → |DE|/12 = 4/6 → |DE| = 8
Kelebek benzerliği: [AB] ∥ [CD] ve [AD] ile [BC] O’da kesişirse △OAB ∼ △ODC
→ |AB| = 6, |CD| = 9, |OA| = 4 ise |OD| = 6
Dik üçgende: Hipotenüse çizilen yükseklik, birbirine ve büyük üçgene benzer iki üçgen oluşturur → Öklid bağıntıları buradan gelir.
Uygulamalar
Gölge yöntemi: Aynı anda boy/gölge oranları eşittir.
→ 1,8 m’lik bir kişinin gölgesi 1,2 m iken bayrak direğinin gölgesi 8 m → direk 12 m
Ayna yöntemi: Geliş açısı = yansıma açısı → iki dik üçgen benzer.
Ölçek: Haritalar ve maketler benzerliğe dayanır; 1 : 50 ölçekli planda 6 cm → 3 m.
Alan oranı ile: Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenin alanları oranı 4/9; küçüğün alanı 20 ise büyüğün alanı 45
Kavramlar
- benzerlik oranı
- karşılıklı kenarların oranı
- temel benzerlik
- tabana paralel doğru benzerliği
- kelebek benzerliği
- paralel kenarlı ters üçgenler
- ölçek
- küçültme-büyütme oranı
- orantılı
- oranları eşit
- Benzerlik kuralları: AA, KAK, KKK
- Çevre oranı k, alan oranı k²
- DE ∥ BC → |AD|/|AB| = |DE|/|BC|
- Tales: |AD|/|DB| = |AE|/|EC|
- Kelebek: paralel tabanlar, köşegen kesişimi
- Gölge ve ayna yöntemleri benzerliğe dayanır
Örnek soru ve çözümü
Şekilde DE ∥ BC, |AD| = 4, |DB| = 2, |BC| = 12 ise |DE| kaçtır? △ADE’nin alanı 16 ise △ABC’nin alanı kaçtır?
|DE|/12 = 4/6 → |DE| = 8. Benzerlik oranı 2/3 → alan oranı 4/9 → A(ABC) = 16 · 9/4 = 36.
Çözümlü örnekler
1. Benzerlik oranı 3 olan iki üçgenin çevreleri oranı kaçtır? Kolay
Çözüm3.
2. Kelebek şeklinde |AB| = 4, |CD| = 10, |OB| = 6 ise |OC| kaçtır? Orta
Çözüm4/10 = 6/|OC| → |OC| = 15.
3. Bir ağacın gölgesi 15 m, aynı anda 2 m’lik bir çubuğun gölgesi 2,5 m. Ağacın boyu kaç m’dir? Zor
Çözüm2/2,5 = h/15 → h = 12 m.
Sık yapılan hatalar
- Alan oranını k sanmak.
- Temel benzerlikte |DE|/|BC| = |AD|/|DB| yazmak.
- Kenarları eşit açılara göre eşleştirmemek.
Biliyor muydun?
Antik çağda Thales, Mısır piramitlerinin yüksekliğini kendi gölgesinin boyuna eşit olduğu anı bekleyip piramidin gölgesini ölçerek bulmuştu!