Çokgen kavramı ve adlandırma; iç açılar toplamı (n − 2)·180°; dış açılar toplamı 360°; bir köşeden çizilen ve toplam köşegen sayısı; düzgün çokgenlerde bir iç ve bir dış açı; düzgün altıgenin özellikleri ve alanı; çokgenlerle kaplama (döşeme) problemleri.
İç ve dış açılar
Çokgen: Düzlemde, uç uca eklenmiş ve kapalı bir şekil oluşturan doğru parçalarının birleşimi (n kenar, n köşe)
- İç açılar toplamı = (n − 2) · 180° (bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni n − 2 üçgene böler)
- Dış açılar toplamı = 360° (her çokgende!)
| n | Çokgen | İç açılar toplamı |
|---|---|---|
| 3 | üçgen | 180° |
| 4 | dörtgen | 360° |
| 5 | beşgen | 540° |
| 6 | altıgen | 720° |
| 8 | sekizgen | 1080° |
Örnek: İç açılar toplamı 1440° olan çokgen → (n − 2)·180 = 1440 → n = 10
Köşegenler ve düzgün çokgenler
Köşegen sayısı:
- Bir köşeden çizilen köşegen sayısı: n − 3
- Toplam köşegen sayısı: n(n − 3)/2 → altıgen: 6·3/2 = 9
Düzgün çokgen: Bütün kenarları ve bütün açıları eşit
- Bir dış açı = 360°/n · Bir iç açı = 180° − 360°/n
→ Düzgün sekizgen: dış açı 45°, iç açı 135°
→ Bir iç açısı 140° olan düzgün çokgen: dış açı 40° → n = 9
Düzgün altıgen: 6 eşkenar üçgene ayrılır → alan = 6 · a²√3/4 = 3a²√3/2; uzun köşegen = 2a
Kaplama (döşeme)
Bir düzlemi boşluk bırakmadan ve üst üste gelmeden aynı düzgün çokgenlerle kaplamak için bir köşede birleşen iç açıların toplamı 360° olmalıdır.
- Eşkenar üçgen (60° × 6) ✓ · Kare (90° × 4) ✓ · Düzgün altıgen (120° × 3) ✓
- Düzgün beşgen (108°) ✗ → 360/108 tam sayı değil
💡 Arılar petekleri altıgen yapar: altıgen, aynı çevreyle düzlemi kaplayan şekiller arasında en büyük alanı kapsar, böylece balmumundan tasarruf edilir.
Türk-İslam sanatında: Selçuklu ve Osmanlı geometrik süslemeleri (girih desenleri), düzgün çokgenlerin ve yıldızların birleşimiyle düzlemi kaplar.
Kavramlar
- çokgen
- kapalı, kenarlı şekil
- köşegen
- ardışık olmayan köşeleri birleştiren
- düzgün çokgen
- kenar ve açıları eşit çokgen
- dış açı
- kenarın uzantısıyla oluşan açı
- kaplama
- boşluksuz döşeme
- İç açılar toplamı (n − 2)·180°
- Dış açılar toplamı her çokgende 360°
- Toplam köşegen sayısı n(n − 3)/2
- Düzgün çokgende bir dış açı 360°/n
- Düzgün altıgen 6 eşkenar üçgenden oluşur
- Kaplama için köşedeki açılar toplamı 360°
Örnek soru ve çözümü
Bir iç açısı, bir dış açısının 4 katı olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
İç + dış = 180 → 5·dış = 180 → dış = 36° → n = 360/36 = 10.
Çözümlü örnekler
1. Beşgenin iç açıları toplamı kaçtır? Kolay
Çözüm540°.
2. Sekizgenin toplam köşegen sayısı kaçtır? Orta
Çözüm8·5/2 = 20.
3. Kenarı 4 cm olan düzgün altıgenin alanı kaçtır? Zor
Çözüm3·16·√3/2 = 24√3 cm².
Sık yapılan hatalar
- Dış açılar toplamının kenar sayısıyla arttığını sanmak.
- Bir köşeden çizilen köşegen sayısını n − 2 almak.
- Düzgün beşgenle düzlemin kaplanabileceğini sanmak.
Biliyor muydun?
Futbol topunun klasik deseni 12 düzgün beşgen ve 20 düzgün altıgenden oluşur; bu şekle “kesik ikosahedron” denir!