Periyodik hareket ve basit harmonik hareketin tanımı (denge noktasına doğru, uzaklıkla orantılı geri çağırıcı kuvvet F = −k · x); genlik, periyot, frekans, açısal frekans; düzgün çembersel hareketin izdüşümü olarak BHH; konum, hız ve ivmenin zamana göre değişimi (x = A · cos ωt, v_max = ωA, a_max = ω²A); denge noktası ve uç noktalarda hız, ivme ve enerji; yay sarkacı T = 2π√(m/k) ve basit sarkaç T = 2π√(L/g); periyodun bağlı olduğu ve olmadığı değişkenler; seri ve paralel yaylar; gerçek hayatta salınımlar.
Basit harmonik hareketin tanımı
Periyodik hareket: Eşit zaman aralıklarında kendini tekrarlayan hareket
Basit harmonik hareket (BHH): Cisme denge noktasından uzaklıkla doğru orantılı ve denge noktasına doğru bir geri çağırıcı kuvvetin etki ettiği salınım → F = −k · x
Kavramlar:
- Denge noktası (O): Net kuvvetin sıfır olduğu nokta
- Uzanım (x): Cismin denge noktasına uzaklığı
- Genlik (A): En büyük uzanım
- Periyot (T): Bir tam salınım süresi · Frekans: f = 1/T · Açısal frekans: ω = 2π/T
BHH ve çembersel hareket: Düzgün çembersel hareket yapan bir noktanın çap üzerindeki izdüşümü BHH yapar → konum x = A · cos (ωt) (t = 0’da uçta ise)
Hız, ivme ve enerji
| Konum | Uzanım | Hız | İvme / kuvvet | Kinetik E | Potansiyel E |
|---|---|---|---|---|---|
| Denge noktası | 0 | En büyük: v = ωA | 0 | En büyük | 0 |
| Uç noktalar | ±A | 0 | En büyük: a = ω²A | 0 | En büyük |
- İvme her zaman denge noktasına doğrudur: a = −ω² · x
- Sürtünme yoksa mekanik enerji korunur: E = ½ k A²
Örnek: Genliği 0,2 m, periyodu 2 s olan BHH
- ω = 2π / 2 = π rad/s ≈ 3,14 rad/s
- v_max = ωA = 0,2π ≈ 0,63 m/s
- a_max = ω²A = π² · 0,2 ≈ 1,97 m/s²
- t = 0,5 s’de x = 0,2 · cos (π/2) = 0 → cisim denge noktasındadır.
Yay sarkacı ve basit sarkaç
Yay sarkacı: T = 2π √(m / k)
- Kütle arttıkça periyot artar, yay sertleştikçe (k büyüdükçe) azalır.
- Genlikten ve yerçekiminden bağımsızdır (Ay’da da aynı periyotla salınır).
- m = 0,4 kg, k = 40 N/m → T = 2π √0,01 = 0,2π ≈ 0,63 s
- Seri bağlı yaylar: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ (yumuşar) · Paralel bağlı: k = k₁ + k₂ (sertleşir)
Basit sarkaç (küçük açılarda): T = 2π √(L / g)
- Periyot ip uzunluğuna ve g’ye bağlıdır; kütleye ve genliğe bağlı değildir.
- L = 1 m, g = 10 m/s² → T = 2π √0,1 ≈ 2 s
- Ay’da (g ≈ g/6) aynı sarkacın periyodu √6 ≈ 2,45 kat artar.
- İp 4 katına çıkarsa periyot 2 katına çıkar.
Gerçek hayat: Sarkaçlı saatler, araç amortisörleri, deprem izolatörleri, kalp atışı ve ses titreşimleri
💡 Galileo, kilisede sallanan avizenin salınım süresinin genliğe bağlı olmadığını nabzıyla ölçerek fark etti.
Kavramlar
- genlik
- en büyük uzanım
- uzanım
- denge noktasına uzaklık
- geri çağırıcı kuvvet
- denge noktasına yönelik kuvvet
- yay sabiti
- yayın sertliğini gösteren katsayı
- basit sarkaç
- ipe asılı noktasal kütle
- BHH: F = −kx, kuvvet uzanımla orantılı ve denge noktasına doğru
- x = A cos ωt; ω = 2π/T
- Dengede hız en büyük (ωA), ivme sıfır
- Uçlarda hız sıfır, ivme en büyük (ω²A)
- Yay sarkacı T = 2π√(m/k): genlik ve g’den bağımsız
- Basit sarkaç T = 2π√(L/g): kütle ve genlikten bağımsız
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre salınımın genliği ve periyodu kaçtır? t = 1 s ve t = 1,5 s anlarında cisim nerededir?
Genlik 0,2 m, periyot 2 s’dir. t = 1 s’de x = −0,2 m (öteki uçta, hız sıfır, ivme en büyük); t = 1,5 s’de x = 0 (denge noktasında, hız en büyük, ivme sıfır).
Çözümlü örnekler
1. Periyodu 0,5 s olan yay sarkacının frekansı kaç Hz’dir? Kolay
Çözümf = 1/0,5 = 2 Hz.
2. Yay sarkacındaki kütle 4 katına çıkarılırsa periyot nasıl değişir? Orta
ÇözümT ∝ √m → periyot 2 katına çıkar.
3. Dünya’da periyodu 2 s olan bir basit sarkaç, kütle çekim ivmesi Dünya’nın 1/4’ü olan bir gezegende kaç s periyotla salınır? Zor
ÇözümT ∝ 1/√g → g 1/4 olunca T 2 katına çıkar: 4 s.
Sık yapılan hatalar
- Basit sarkacın periyodunun kütleye bağlı olduğunu sanmak.
- Denge noktasında ivmenin en büyük olduğunu düşünmek.
- Yay sarkacının periyodunun Ay’da değiştiğini sanmak.
Biliyor muydun?
Foucault 1851’de Paris Panteonu’na 67 m’lik bir sarkaç asarak salınım düzleminin yavaşça döndüğünü gösterdi; bu, Dünya’nın kendi ekseni etrafında döndüğünün laboratuvardaki kanıtıydı!