Newton’un evrensel kütle çekim yasası F = G · m₁ · m₂ / d², evrensel çekim sabiti G ve Cavendish deneyi; kütle çekim ivmesi g = G · M / R² ve yükseklikle, gezegenin kütlesi ve yarıçapıyla değişimi; ağırlıksızlık ve serbest düşme; kütle çekim potansiyel enerjisi Eₚ = −G · M · m / r; yörünge hızı ve kurtulma hızı; gök cisimlerinin hareketleri üzerine görüşlerin tarihi (yer merkezli ve Güneş merkezli model, Tycho Brahe); Kepler’in üç yasası: elips yörüngeler, eşit alanlar, T² / r³ sabitliği.
Evrensel kütle çekim yasası
Newton’un kütle çekim yasası (1687): Kütleli iki cisim birbirini F = G · m₁ · m₂ / d² büyüklüğündeki kuvvetle çeker.
- G = 6,67 · 10⁻¹¹ N · m² / kg² (evrensel çekim sabiti) → Henry Cavendish 1798’de burulma terazisiyle ölçtü.
- Kuvvet kütlelerin çarpımıyla doğru, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.
- Kuvvetler etki-tepki çiftidir: Dünya elmayı ne kadar çekiyorsa elma da Dünya’yı o kadar çeker.
Kütle çekim ivmesi: g = G · M / R²
- Dünya yüzeyinde g ≈ 9,8 m/s²; Ay’da ≈ 1,6 m/s² (Dünya’nın yaklaşık 1/6’sı)
- Yüzeyden h yükseklikte: g′ = G · M / (R + h)² → h = R ise g′ = g / 4
- Gezegenin kütlesi 2 katı, yarıçapı aynıysa g de 2 katı; yarıçap 2 katı, kütle aynıysa g 1/4
Ağırlıksızlık: Uzay istasyonunda çekim vardır (≈ 0,9g), ama istasyon ve astronotlar birlikte serbest düşme hâlinde olduğu için ağırlık hissedilmez.
Potansiyel enerji, yörünge ve kurtulma hızı
Kütle çekim potansiyel enerjisi: Eₚ = −G · M · m / r (sonsuz uzaklıkta sıfır kabul edilir)
- Negatif işaret, cismin çekim alanına bağlı olduğunu gösterir; yükseldikçe Eₚ artar (sıfıra yaklaşır).
- Yüzeye yakın küçük yüksekliklerde bu ifade mgh yaklaşımına dönüşür.
Yörünge hızı: Uyduda merkezcil kuvveti çekim sağlar → m v² / r = G M m / r² → v = √(G · M / r)
- Yörünge yarıçapı büyüdükçe yörünge hızı azalır, periyot artar.
- Yer eş zamanlı (geostatik) uydu: Periyodu 24 saat, yerden yaklaşık 36 000 km yükseklikte; iletişim ve TV yayınları
Kurtulma hızı: Cismin çekim alanından tamamen kurtulması için gereken en küçük hız → ½ m v² = G M m / R → v = √(2 G M / R)
- Dünya için yaklaşık 11,2 km/s; Ay için yaklaşık 2,4 km/s
- Kurtulma hızı ışık hızını aşan cisim → kara delik
Kepler kanunları
Tarihsel gelişim: Batlamyus’un yer merkezli modeli → Kopernik’in Güneş merkezli modeli (1543) → Tycho Brahe’nin çok hassas gözlemleri → Johannes Kepler’in yasaları (1609–1619) → Newton’un kütle çekim yasasıyla açıklanması
1. Yörüngeler yasası (şekilde G: Güneş): Gezegenler Güneş etrafında elips yörüngelerde dolanır; Güneş elipsin odaklarından birindedir.
2. Alanlar yasası: Gezegeni Güneş’e birleştiren doğru eşit zamanlarda eşit alanlar tarar → gezegen günberide hızlı, günötede yavaş hareket eder (açısal momentumun korunumu).
3. Periyotlar yasası: T² / a³ = sabit (a: yörüngenin yarı büyük ekseni)
- Mars için a ≈ 1,52 AB → T = 1,52^(3/2) ≈ 1,87 yıl
- Dünya’dan 4 kat uzak bir gezegenin periyodu 4^(3/2) = 8 yıl
💡 Dünya günberiye ocak ayının başında ulaşır; mevsimler uzaklıktan değil eksen eğikliğinden kaynaklanır.
Kavramlar
- kütle çekim
- kütleli cisimler arasındaki çekim
- günberi
- yörüngenin Güneş’e en yakın noktası
- günöte
- yörüngenin Güneş’e en uzak noktası
- kurtulma hızı
- çekim alanından kaçış için gereken hız
- yer eş zamanlı uydu
- periyodu 24 saat olan uydu
- F = G m₁m₂ / d²; G = 6,67 · 10⁻¹¹ N·m²/kg² (Cavendish)
- g = GM/R²; h = R yükseklikte g/4
- Eₚ = −GMm/r; sonsuzda sıfır
- Yörünge hızı √(GM/r); kurtulma hızı √(2GM/R), Dünya’da 11,2 km/s
- Kepler 1: elips yörünge, Güneş odakta; 2: eşit alanlar
- Kepler 3: T²/a³ = sabit
Örnek soru ve çözümü
Şekildeki elips yörüngede gezegen günberi ve günöte noktalarının hangisinde daha hızlıdır? Kepler’in hangi yasası bunu açıklar?
Gezegen Güneş’e en yakın olduğu günberide en hızlı, en uzak olduğu günötede en yavaştır. Kepler’in 2. yasasına göre gezegeni Güneş’e birleştiren doğru eşit zamanlarda eşit alan tarar; yakınken kısa olan yarıçapın aynı alanı tarayabilmesi için daha uzun yay, yani daha hızlı hareket gerekir.
Çözümlü örnekler
1. İki cisim arasındaki uzaklık 3 katına çıkarsa kütle çekim kuvveti nasıl değişir? Kolay
Çözüm1/9’una düşer.
2. Kütlesi Dünya’nın 4 katı, yarıçapı 2 katı olan gezegende kütle çekim ivmesi kaç g’dir? Orta
Çözümg′ = G · 4M / (2R)² = GM/R² = g; aynıdır.
3. Bir gezegenin Güneş’e ortalama uzaklığı 9 AB ise periyodu kaç yıldır? Zor
ÇözümT² = a³ = 729 → T = 27 yıl.
Sık yapılan hatalar
- Uzay istasyonunda kütle çekim olmadığını sanmak (serbest düşme vardır).
- Kütle çekim kuvvetinin uzaklıkla ters (kare değil) orantılı olduğunu sanmak.
- Mevsimleri Dünya’nın Güneş’e uzaklığıyla açıklamak.
Biliyor muydun?
Newton’un elma hikâyesi bir efsane olarak anlatılsa da Newton’un kendisi ileri yaşlarında, kütle çekimi düşünmeye bahçede düşen bir elmayı görünce başladığını anlatmıştır!