Öteleme ve dönme hareketi; dönerek öteleme (kaymadan yuvarlanma, v = ω · r); eylemsizlik momenti ve kütle dağılımıyla ilişkisi (noktasal kütle, halka, disk, küre); dönme kinetik enerjisi ½ I ω² ve dönerek öteleme yapan cismin toplam kinetik enerjisi; eğik düzlemden yuvarlanan cisimlerin yarışı; açısal momentum L = I · ω = m · v · r, vektörel yönü (sağ el kuralı); tork ve açısal ivme ilişkisi; açısal momentumun korunumu ve örnekleri (buz patencisi, dalgıç, nötron yıldızları, Kepler’in alanlar yasası).
Öteleme, dönme ve eylemsizlik momenti
Öteleme: Cismin bütün noktalarının aynı yönde ve aynı miktarda yer değiştirmesi
Dönme: Cismin noktalarının sabit bir eksen etrafında çembersel yörüngeler çizmesi
Dönerek öteleme: İkisinin birlikte gerçekleşmesi (yuvarlanan teker, bilardo topu)
- Kaymadan yuvarlanmada: Ağırlık merkezinin hızı v = ω · r
Eylemsizlik momenti (I): Cismin dönme hareketindeki değişime gösterdiği direnç; kütleye ve kütlenin eksene göre dağılımına bağlıdır.
- Noktasal kütle için I = m · r²; kütle eksenden uzaklaştıkça I büyür.
- Aynı kütle ve yarıçapta halka > disk > küre (halkada bütün kütle kenardadır)
Dönme kinetik enerjisi: E = ½ · I · ω²
Dönerek öteleyen cismin toplam kinetik enerjisi: E = ½ m v² + ½ I ω²
| Cisim (kütle M, yarıçap R) | Eylemsizlik momenti I |
|---|---|
| Noktasal kütle (r uzaklıkta) | m · r² |
| İnce halka (merkezinden) | M · R² |
| Dolu disk / silindir | (1/2) · M · R² |
| Dolu küre | (2/5) · M · R² |
| İnce çubuk (ortasından) | (1/12) · M · L² |
Eğik düzlemde yuvarlanma yarışı
Aynı yükseklikten kaymadan yuvarlanan halka, disk ve küre: Potansiyel enerji hem öteleme hem dönme kinetik enerjisine dönüşür.
- mgh = ½ m v² + ½ I ω²
- Eylemsizlik momenti küçük olan cisim enerjinin daha büyük kısmını ötelemeye ayırır → daha hızlı iner.
- Sıralama: Önce küre (2/5), sonra disk (1/2), en son halka (1) varır — kütle ve yarıçaptan bağımsız!
| Cisim | I | Alt uçtaki hız |
|---|---|---|
| Kayan blok (sürtünmesiz) | — | √(2gh) |
| Dolu küre | (2/5)MR² | √(10gh/7) |
| Dolu disk | (1/2)MR² | √(4gh/3) |
| İnce halka | MR² | √(gh) |
Örnek: h = 1,8 m’den yuvarlanan disk → v = √(4 · 10 · 1,8 / 3) = √24 ≈ 4,9 m/s; aynı yükseklikten sürtünmesiz kayan blok √36 = 6 m/s
Açısal momentum ve korunumu
Açısal momentum: L = I · ω · noktasal kütle için L = m · v · r
- Vektörel büyüklüktür; yönü sağ el kuralıyla bulunur (parmaklar dönme yönünde kıvrılınca başparmak L’yi gösterir).
- Açısal ivme: α = Δω / Δt · Tork: τ = I · α = ΔL / Δt → Tork, açısal momentumu değiştirir.
Açısal momentumun korunumu: Dış tork sıfır ise L = I · ω sabittir → I azalırsa ω artar.
- Buz patencisi kollarını göğsüne çekince I azalır, daha hızlı döner; kollarını açınca yavaşlar.
- I₁ = 4 kg·m², ω₁ = 2 rad/s iken kollarını kapatıp I₂ = 1 kg·m² yapan patenci → ω₂ = 8 rad/s
- Atlama dalgıcı havada büzülerek takla sayısını artırır.
- Çöken yıldız çekirdeği küçülünce çok hızlı dönen nötron yıldızına (pulsar) dönüşür.
- Kepler’in 2. yasası: Gezegen Güneş’e yaklaşınca r azalır, v artar (L = m v r sabit).
- Topaç ve bisiklet tekerleği dönerken eksenini korur → dengeli durur.
Kavramlar
- eylemsizlik momenti
- dönmeye karşı direnç
- açısal momentum
- dönme hareketinin momentumu
- tork
- döndürme etkisi
- açısal ivme
- açısal hızın değişim hızı
- yuvarlanma
- kaymadan dönerek ilerleme
- Kaymadan yuvarlanmada v = ωr
- Eylemsizlik momenti kütleye ve kütle dağılımına bağlı; noktasal I = mr²
- Dönme kinetik enerjisi ½Iω²; toplam ½mv² + ½Iω²
- Yuvarlanma yarışında küre > disk > halka
- L = Iω = mvr; tork açısal momentumu değiştirir
- Dış tork yoksa L korunur: I azalınca ω artar
Örnek soru ve çözümü
Kartlara göre bir buz patencisi kollarını açıkken 2 rad/s ile dönüyor ve eylemsizlik momenti 4 kg·m²’dir. Kollarını kapatınca I = 1 kg·m² oluyor. Yeni açısal hızı nedir? Dönme kinetik enerjisi nasıl değişir?
Dış tork olmadığından L korunur: 4 · 2 = 1 · ω₂ → ω₂ = 8 rad/s. Kinetik enerji ½ · 4 · 4 = 8 J’den ½ · 1 · 64 = 32 J’ye çıkar; aradaki enerjiyi patencinin kollarını içeri çekerken yaptığı iş sağlar.
Çözümlü örnekler
1. 2 kg’lık noktasal kütle dönme eksenine 3 m uzaklıkta ise eylemsizlik momenti nedir? Kolay
ÇözümI = m r² = 2 · 9 = 18 kg·m².
2. Eylemsizlik momenti 0,5 kg·m² olan teker 4 rad/s ile dönüyor. Dönme kinetik enerjisi ve açısal momentumu nedir? Orta
ÇözümE = ½ · 0,5 · 16 = 4 J; L = 0,5 · 4 = 2 kg·m²/s.
3. Aynı kütle ve yarıçaplı halka ile dolu disk aynı eğik düzlemden yuvarlanıyor. Hangisi önce varır, neden? Zor
ÇözümDisk önce varır. Diskin eylemsizlik momenti (½MR²) halkanınkinden (MR²) küçük olduğu için potansiyel enerjinin daha büyük kısmı öteleme kinetik enerjisine dönüşür ve ağırlık merkezi daha hızlı ilerler.
Sık yapılan hatalar
- Eylemsizlik momentinin yalnızca kütleye bağlı olduğunu sanmak (dağılım da önemli).
- Ağır olan cismin eğik düzlemden daha hızlı yuvarlandığını düşünmek.
- Açısal momentum korunurken kinetik enerjinin de korunduğunu sanmak.
Biliyor muydun?
Bazı pulsarlar saniyede yüzlerce kez döner; çekirdeği birkaç on kilometreye büzülen bir yıldızın dönme hızı, açısal momentum korunduğu için olağanüstü artar!