Dönel cisimler; dik dairesel silindir: açınımı, yanal alan (2πrh), yüzey alanı (2πr² + 2πrh) ve hacim (πr²h); dik dairesel koni: ana doğru ℓ, ℓ² = r² + h², açınım (daire dilimi), yanal alan (πrℓ), yüzey alanı ve hacim ((1/3)πr²h); küre: yüzey alanı (4πr²) ve hacim ((4/3)πr³); yarım küre; Arşimet’in küre-silindir ilişkisi; cisimlerin birbirine dönüştürülmesi (eritip yeniden dökme) ve kap doldurma problemleri.
Silindir
Dik dairesel silindir: Tabanları eş ve paralel iki daire olan, yan yüzü bükülmüş bir dikdörtgen olan cisim
Açınım: İki daire + kenarları 2πr ve h olan dikdörtgen
- Yanal alan: 2πrh
- Yüzey alanı: 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
- Hacim: V = πr²h
Örnek: r = 3 cm, h = 10 cm (π ≈ 3)
- Yanal alan = 2 · 3 · 3 · 10 = 180 cm²
- Yüzey alanı = 2 · 3 · 9 + 180 = 234 cm²
- Hacim = 3 · 9 · 10 = 270 cm³ (= 270 mL)
Gerçek hayat: Konserve kutusu, su deposu, boru
💡 Yarıçap 2 katına çıkarsa hacim 4 katına, yükseklik 2 katına çıkarsa hacim 2 katına çıkar.
Koni
Dik dairesel koni: Tabanı daire, tepe noktası taban merkezinin tam üstünde olan cisim
- Ana doğru (ℓ): Tepeden taban çemberine uzanan doğru parçası → ℓ² = r² + h²
- Açınım: Taban dairesi + yarıçapı ℓ olan daire dilimi (yay uzunluğu 2πr)
- Yanal alan: πrℓ
- Yüzey alanı: πr² + πrℓ = πr(r + ℓ)
- Hacim: V = (1/3)πr²h → aynı taban ve yükseklikteki silindirin üçte biri
Örnek: r = 6 cm, h = 8 cm
- ℓ = √(36 + 64) = 10 cm
- Yanal alan = π · 6 · 10 = 60π cm²
- Yüzey alanı = 36π + 60π = 96π cm²
- Hacim = (1/3) · π · 36 · 8 = 96π cm³
Açınım açısı: Daire diliminin merkez açısı α için α / 360° = r / ℓ → 6/10 → α = 216°
Küre ve cisim dönüşümleri
Küre: Uzayda bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi
- Yüzey alanı: 4πr² (en büyük dairenin alanının 4 katı)
- Hacim: V = (4/3)πr³
- Yarım küre: Hacim (2/3)πr³, yüzey alanı (kapalıysa) 2πr² + πr² = 3πr²
Örnek: r = 3 cm → A = 36π cm², V = (4/3)π · 27 = 36π cm³
Arşimet’in buluşu: Bir küre, kendisini tam içine alan silindirin (r ve h = 2r) hacminin 2/3’ü kadardır:
- Silindir: πr² · 2r = 2πr³ · Küre: (4/3)πr³ = (2/3) · 2πr³ ✓
- Arşimet bu buluşunu o kadar önemsedi ki mezar taşına silindir içinde küre çizilmesini istedi.
Eritip yeniden dökme: Hacim korunur.
- Yarıçapı 6 cm olan metal küre eritilip yarıçapı 3 cm olan bilyeler yapılırsa bilye sayısı = (6/3)³ = 8
- Yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 4 cm olan koni eritilip yarıçapı 3 cm’lik silindir yapılırsa yükseklik = 4/3 cm
Kavramlar
- dönel cisim
- bir şeklin eksen etrafında dönmesiyle oluşan cisim
- ana doğru
- konide tepeden taban çemberine uzanan doğru
- açınım
- yüzeyin düzleme açılmış hâli
- yarım küre
- kürenin büyük daireyle ikiye bölünmüş parçası
- yanal alan
- tabanlar dışındaki yüzey alanı
- Silindir: V = πr²h, yanal alan 2πrh
- Koni: ℓ² = r² + h², yanal alan πrℓ, V = (1/3)πr²h
- Koni açınım açısı: α/360° = r/ℓ
- Küre: A = 4πr², V = (4/3)πr³
- Küre, çevreleyen silindirin hacminin 2/3’üdür (Arşimet)
- Eritip dökmede hacim korunur
Örnek soru ve çözümü
Şekildeki cisimlerin üçünün de yarıçapı r ve silindir ile koninin yüksekliği 2r ise hacimlerini karşılaştırınız.
Silindir: πr² · 2r = 2πr³. Koni: (1/3)πr² · 2r = (2/3)πr³. Küre: (4/3)πr³. Oranlar 2 : 2/3 : 4/3 = 3 : 1 : 2 olur. Yani koni ile kürenin hacimleri toplamı silindirin hacmine eşittir.
Çözümlü örnekler
1. Yarıçapı 2 cm olan kürenin yüzey alanı nedir? Kolay
Çözüm4π · 4 = 16π cm².
2. Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm olan koninin ana doğrusu ve yanal alanı nedir? Orta
Çözümℓ = √(25 + 144) = 13 cm; yanal alan = π · 5 · 13 = 65π cm².
3. İç yarıçapı 4 cm olan silindir biçimli bardaktaki suya yarıçapı 2 cm olan bir bilye bırakılıyor. Su seviyesi kaç cm yükselir? Zor
ÇözümBilye hacmi (4/3)π · 8 = 32π/3 cm³. Yükselme h için π · 16 · h = 32π/3 → h = 2/3 cm.
Sık yapılan hatalar
- Koni hacminde 1/3’ü unutmak.
- Koni yanal alanında yükseklik h ile ana doğru ℓ’yi karıştırmak.
- Küre hacminde r² kullanmak (r³ olmalı).
Biliyor muydun?
Bir portakalın kabuğunu soyup düz bir yüzeye yaysanız, portakalın en büyük kesitinin yaklaşık 4 katı alan kaplar; küre yüzey alanının 4πr² olduğunun mutfaktaki kanıtı!