Eklemler mantığında basit ve bileşik önermeler, önerme değişkenleri (p, q, r); eklemler (değilleme ¬, birleşme ∧, ayrılma ∨, koşul →, karşılıklı koşul ↔) ve doğruluk değerleri; günlük dildeki cümlelerin sembolleştirilmesi; doğruluk tablosu kurma (n önerme için 2ⁿ satır); totoloji, çelişki ve olumsal önermeler; eşdeğerlik (De Morgan kuralları, koşulun eşdeğeri p → q ≡ ¬p ∨ q, karşıt ters); çıkarımların geçerliliğinin doğruluk tablosu ve kısa yol (olmayana ergi) yöntemiyle denetlenmesi; temel çıkarım kuralları (modus ponens, modus tollens, koşullu kıyas, ayrık kıyas).
Eklemler ve sembolleştirme
Eklemler mantığı: Önermeleri iç yapılarına bakmadan bütün olarak ele alır; basit önermeleri p, q, r gibi harflerle, bağlaçları sembollerle gösterir.
Sembolleştirme örnekleri:
- p: “Hava güneşli.” · q: “Pikniğe gideriz.”
- “Hava güneşli değil.” → ¬p
- “Hava güneşli ve pikniğe gideriz.” → p ∧ q
- “Hava güneşliyse pikniğe gideriz.” → p → q
- “Ancak ve ancak hava güneşliyse pikniğe gideriz.” → p ↔ q
- “Hava güneşli değilse pikniğe gitmeyiz.” → ¬p → ¬q
⚠️ Günlük dildeki “ama, fakat, ancak, oysa” bağlaçları da mantıkta ∧ ile gösterilir.
| Eklem (bağlaç) | Sembol | Okunuş | Ne zaman yanlış? |
|---|---|---|---|
| Değilleme | ¬p | p değil | p doğruyken |
| Birleşme (ve) | p ∧ q | p ve q | En az biri yanlışken |
| Ayrılma (veya) | p ∨ q | p veya q | İkisi de yanlışken |
| Koşul (ise) | p → q | p ise q | Yalnızca p doğru, q yanlışken |
| Karşılıklı koşul | p ↔ q | p ancak ve ancak q | Değerleri farklıyken |
Doğruluk tablosu; totoloji, çelişki, olumsal
Doğruluk tablosu: Bileşik önermenin, basit önermelerin bütün doğruluk değeri kombinasyonlarındaki değerini gösterir → n basit önerme için 2ⁿ satır (2 önerme → 4, 3 önerme → 8 satır)
Önemli kurallar: p → q yalnızca p doğru, q yanlış olduğunda yanlıştır (“söz tutulmadı” durumu); öncülü yanlış olan koşul önermesi doğrudur.
Bileşik önerme türleri:
- Totoloji: Bütün satırlarda doğru → p ∨ ¬p (üçüncü hâlin olanaksızlığı), p → p
- Çelişki: Bütün satırlarda yanlış → p ∧ ¬p
- Olumsal: Bazı satırlarda doğru, bazılarında yanlış → p ∧ q
Eşdeğerlikler:
- De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q · ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- Koşul: p → q ≡ ¬p ∨ q
- Karşıt ters: p → q ≡ ¬q → ¬p (ama p → q, q → p ile eşdeğer değildir)
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|
| D | D | D | D | D | D |
| D | Y | Y | D | Y | Y |
| Y | D | Y | D | D | Y |
| Y | Y | Y | Y | D | D |
Çıkarımların geçerliliği
Geçerli çıkarım: Öncüller doğru olduğunda sonucun yanlış olamadığı çıkarım → öncüllerin birleşimi ile sonucun koşul önermesi totolojidir.
Denetleme yöntemleri:
- Doğruluk tablosu: Öncüllerin hepsinin doğru olduğu satırlarda sonuç da doğru mu?
- Kısa yol (olmayana ergi): Sonucu yanlış, öncülleri doğru kabul et; çelişkiye ulaşırsan çıkarım geçerlidir.
Geçersiz çıkarım örnekleri (safsata):
- Sonucu doğrulama: p → q, q ⊢ p (“Yağmur yağarsa yol ıslanır. Yol ıslak. O hâlde yağmur yağdı.” → yolu belediye yıkamış olabilir!)
- Öncülü yadsıma: p → q, ¬p ⊢ ¬q
| Çıkarım kuralı | Biçim | Örnek |
|---|---|---|
| Modus ponens | p → q, p ⊢ q | Yağmur yağarsa yol ıslanır. Yağmur yağdı. Yol ıslanır. |
| Modus tollens | p → q, ¬q ⊢ ¬p | Yağmur yağarsa yol ıslanır. Yol ıslanmadı. Yağmur yağmadı. |
| Koşullu kıyas | p → q, q → r ⊢ p → r | Çalışırsam öğrenirim; öğrenirsem başarırım ⊢ Çalışırsam başarırım. |
| Ayrık kıyas | p ∨ q, ¬p ⊢ q | Ya çay ya kahve içeceğim. Çay içmedim. Kahve içeceğim. |
Kavramlar
- eklem
- önermeleri birleştiren mantıksal bağlaç
- totoloji
- her durumda doğru önerme
- çelişki
- her durumda yanlış önerme
- olumsal
- bazen doğru bazen yanlış önerme
- modus ponens
- p → q ve p’den q’yu çıkarma
- Eklemler: ¬ (değil), ∧ (ve), ∨ (veya), → (ise), ↔ (ancak ve ancak)
- n önerme için doğruluk tablosu 2ⁿ satır
- p → q yalnızca p doğru, q yanlışken yanlıştır
- Totoloji hep doğru, çelişki hep yanlış, olumsal bazen doğru
- De Morgan; p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- Geçerli: modus ponens, modus tollens; geçersiz: sonucu doğrulama
Örnek soru ve çözümü
Doğruluk tablosuna göre p → q önermesi hangi satırda yanlıştır? “Sınavı geçersem sana bisiklet alacağım.” sözü hangi durumda tutulmamış olur?
| p | q | p ∧ q | p ∨ q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|---|---|---|
| D | D | D | D | D | D |
| D | Y | Y | D | Y | Y |
| Y | D | Y | D | D | Y |
| Y | Y | Y | Y | D | D |
p → q yalnızca p doğru, q yanlış olduğunda (2. satır) yanlıştır. Söz, sınav geçildiği hâlde bisiklet alınmadığında tutulmamış olur. Sınav geçilmezse bisiklet alınsa da alınmasa da söz çiğnenmiş sayılmaz; koşul önermesi doğrudur.
Çözümlü örnekler
1. 3 basit önermeden oluşan bir bileşik önermenin doğruluk tablosu kaç satırdır? Kolay
Çözüm2³ = 8.
2. ¬(p ∨ q) önermesinin De Morgan kuralına göre eşdeğerini yazınız ve günlük dille ifade ediniz. Orta
Çözüm¬p ∧ ¬q. “Ne yağmur yağdı ne de kar” gibi: İkisi de gerçekleşmedi.
3. “Çok çalışırsam başarılı olurum. Başarılı oldum. O hâlde çok çalıştım.” çıkarımını değerlendiriniz. Zor
ÇözümBiçimi p → q, q ⊢ p’dir (sonucu doğrulama safsatası) ve geçersizdir: Başarı başka nedenlerle (yetenek, şans) de olmuş olabilir; p yanlış, q doğru olduğunda öncüller doğru, sonuç yanlış olur.
Sık yapılan hatalar
- Öncülü yanlış olan koşul önermesini yanlış saymak (doğrudur).
- p → q ile q → p’yi eşdeğer sanmak.
- Sonucu doğrulama biçimindeki çıkarımları geçerli sanmak.
Biliyor muydun?
Bilgisayarınızdaki işlemci saniyede milyarlarca kez “ve”, “veya”, “değil” işlemlerini yapan mantık kapılarından oluşur: Eklemler mantığı her gün cebinizde çalışıyor!