Çarpan ve kat kavramları, bir sayının bütün çarpanlarını sistemli bulma, katlar ve günlük hayat problemleri.
Çarpan nedir?
Bir doğal sayıyı kalansız bölen doğal sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. 12’yi iki doğal sayının çarpımı olarak yazmanın bütün yolları:
- 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4
Buna göre 12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
💡 Her doğal sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı kendisidir. 1, her sayının çarpanıdır.
Çarpanları sistemli bulmak
Bir sayının çarpanlarını kaçırmadan bulmak için 1’den başlayarak deneriz ve çarpan çiftlerini yazarız. Çarpanlar birbirine yaklaşıp aynı ya da yer değiştirmiş çift geldiğinde dururuz.
36’nın çarpanları:
- 1 × 36
- 2 × 18
- 3 × 12
- 4 × 9
- 6 × 6 → dur (çiftler buluştu)
36’nın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 tane).
💡 Çarpan sayısı tek olan sayılar kare sayılardır (36 = 6 × 6). Diğer sayıların çarpan sayısı çifttir.
Kat nedir?
Bir doğal sayının 1, 2, 3, … gibi doğal sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılara o sayının katları denir.
- 7’nin katları: 0, 7, 14, 21, 28, 35, … (sonsuza kadar)
- 0 her sayının katıdır (7 × 0 = 0).
Çarpan–kat ilişkisi: 3 × 8 = 24 ise
- 3 ve 8, 24’ün çarpanlarıdır.
- 24, hem 3’ün hem 8’in katıdır.
⚠️ Bir sayının çarpanları sınırlıdır (sayının kendisinden büyük olamaz), katları ise sonsuzdur.
Günlük hayatta çarpan ve kat
- 24 öğrenciyi eşit gruplara ayırmak: Grup büyüklüğü 24’ün çarpanlarından biri olmalı: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- Alanı 18 m² olan dikdörtgen bahçe: Kenarlar doğal sayıysa 1 × 18, 2 × 9 veya 3 × 6 olabilir.
- Her 4 günde bir nöbet: Nöbet günleri 4’ün katlarıdır: 4., 8., 12., … günler.
Kavramlar
- Çarpan (bölen)
- Bir sayıyı kalansız bölen doğal sayı.
- Kat
- Bir sayının doğal sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayı.
- Çarpan çifti
- Çarpımı verilen sayıyı veren iki sayı: 4 ve 9, 36 için.
- Kare sayı
- Bir doğal sayının kendisiyle çarpımı: 1, 4, 9, 16, …
- Çarpan: sayıyı kalansız bölen doğal sayı
- Kat: sayının doğal sayılarla çarpımı
- Çarpanları çift çift ve 1’den başlayarak bul
- 1 her sayının çarpanı, 0 her sayının katıdır
- Çarpanlar sınırlı, katlar sonsuz
- Kare sayıların çarpan sayısı tektir
Örnek soru ve çözümü
48’in çarpanlarını bulunuz. Kaç tane çarpanı vardır?
1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12, 6 × 8. Çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 → 10 tane.
Çözümlü örnekler
1. 9’un 50’den küçük katlarını yazınız. Kolay
Çözüm0, 9, 18, 27, 36, 45.
2. 30 kişilik bir sınıf eşit sayıda öğrenciden oluşan gruplara ayrılacak. Grupta en az 3, en fazla 10 öğrenci olacaksa grup büyüklüğü kaç olabilir? Orta
Çözüm30’un çarpanlarından 3 ile 10 arasında olanlar: 3, 5, 6, 10.
3. Çarpan sayısı tek olan 50’den küçük doğal sayıları yazınız. Zor
ÇözümKare sayılar: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
Sık yapılan hatalar
- Bir sayının kendisini ve 1’i çarpanlar arasında unutmak.
- Çarpan ile katı karıştırmak.
- Kare sayılarda ortadaki çarpanı iki kez yazmak (36’da 6’yı bir kez yaz).
Biliyor muydun?
“Mükemmel sayı”, kendisi hariç çarpanlarının toplamı kendisine eşit olan sayıdır: 6 = 1 + 2 + 3. Sonraki mükemmel sayı 28’dir. Kontrol eder misin?