Komşu, tümler, bütünler ve ters açılar; yöndeş, iç ters ve dış ters açılar; karşı durumlu açılar.
Hatırlayalım: açı çiftleri
- Komşu açılar: Köşeleri ve birer kolları ortak, iç bölgeleri ayrık açılar.
- Tümler açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan iki açı (30° ve 60°).
- Bütünler açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan iki açı (70° ve 110°).
- Ters açılar: İki doğrunun kesişmesiyle oluşan, karşılıklı duran açılar. Ters açıların ölçüleri eşittir.
Paralel iki doğru ve bir kesen
İki paralel doğru (d ∥ k) bir kesenle kesildiğinde 8 açı oluşur. Bu açılar arasında özel ilişkiler vardır:
| Açı çifti | Konumu | İlişki |
|---|---|---|
| Yöndeş açılar | Kesenin aynı tarafında, paralellerin aynı tarafında | Eşit |
| İç ters açılar | Paralellerin arasında, kesenin farklı taraflarında | Eşit |
| Dış ters açılar | Paralellerin dışında, kesenin farklı taraflarında | Eşit |
| Karşı durumlu açılar | Kesenin aynı tarafında, paralellerin ikisi arasında | Bütünler (toplam 180°) |
💡 Kısacası: oluşan 8 açının dar olanları birbirine, geniş olanları birbirine eşittir; bir dar ile bir geniş açının toplamı 180°’dir.
Açıları hesaplamak
Örnek: d ∥ k ve kesen d ile 65°’lik açı yapıyor.
- Yöndeşi (k üzerinde aynı konumda): 65°
- Bu açının bütünleri: 180 − 65 = 115°
- İç ters açısı: 65°
Örnek (cebirli): İç ters açılar (2x + 10)° ve 70° ise 2x + 10 = 70 → x = 30.
⚠️ Bu eşitlikler yalnızca doğrular paralelse geçerlidir. Paralel olmayan iki doğruyu bir kesen keserse yöndeş açılar eşit olmaz.
İki kesenle oluşan şekiller
İki paralel doğru iki kesenle kesilirse aralarında dörtgenler oluşur:
- Kesenler de birbirine paralelse → paralelkenar oluşur (karşılıklı kenarlar paralel).
- Kesenler paralel değilse → yamuk oluşur (yalnız bir çift kenar paralel).
💡 Köşegenleri birbirini ortalayan her dörtgen bir paralelkenardır. Bunu iki kalemi ortalarından çaprazlayıp uçlarını birleştirerek deneyebilirsin!
Kavramlar
- Yöndeş açılar
- Paralel doğrularla kesenin aynı tarafında, aynı konumdaki açılar; eşittir.
- İç ters açılar
- Paraleller arasında, kesenin zıt taraflarındaki açılar; eşittir.
- Dış ters açılar
- Paralellerin dışında, kesenin zıt taraflarındaki açılar; eşittir.
- Bütünler açılar
- Toplamları 180° olan açılar.
- Tümler: 90° · bütünler: 180°
- Ters açılar eşittir
- Paralellerde yöndeş açılar eşit
- İç ters ve dış ters açılar eşit
- Karşı durumlu açılar bütünler
- Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgen paralelkenardır
Örnek soru ve çözümü
d ∥ k doğrularını kesen bir doğru, d ile 48°’lik bir dar açı oluşturuyor. Oluşan 8 açının ölçülerini bulunuz.
Dar açıların hepsi 48°, geniş açıların hepsi 180 − 48 = 132°’dir. 4 tane 48°, 4 tane 132° vardır.
Çözümlü örnekler
1. 35°’lik açının tümleri ve bütünleri kaç derecedir? Kolay
ÇözümTümleri 90 − 35 = 55°, bütünleri 180 − 35 = 145°.
2. Paralel iki doğru ve bir kesende yöndeş açılar (3x − 15)° ve 60° ise x kaçtır? Orta
Çözüm3x − 15 = 60 → 3x = 75 → x = 25.
3. Paralel iki doğru ve bir kesende karşı durumlu açılar (2x + 20)° ve (3x + 10)° ise küçük açı kaç derecedir? Zor
ÇözümToplamları 180°: 5x + 30 = 180 → x = 30. Açılar 80° ve 100°; küçük açı 80°.
Sık yapılan hatalar
- Karşı durumlu açıları eşit sanmak (bütünlerdir).
- Doğrular paralel değilken yöndeş açıları eşit kabul etmek.
- Tümler ile bütünleri karıştırmak.
Biliyor muydun?
Raylı sistemlerde, merdivenlerde ve köprü korkuluklarında paralel doğrular ve kesenler her yerdedir. Marangozlar paralel çizgileri kontrol etmek için yöndeş açıların eşitliğini kullanır.