Üçgenin iç açıları toplamı, dış açı, dış açılar toplamı ve açı problemleri.
İç açılar toplamı 180°
Kâğıttan bir üçgen kesip üç köşesini koparalım ve köşeleri yan yana getirelim: Üç açı birlikte bir doğru açı (180°) oluşturur!
Her üçgende iç açıların ölçüleri toplamı 180°’dir.
Neden? Üçgenin bir köşesinden karşı kenara paralel bir doğru çizelim. Bu doğru üzerinde oluşan üç açı, üçgenin iç açılarına iç ters açı olarak eşittir ve birlikte doğru açı yapar.
Bilinmeyen açıyı bulmak
Üçgenin iki açısı biliniyorsa üçüncüsü bulunabilir:
m(A) + m(B) + m(C) = 180°
- m(A) = 45°, m(B) = 75° ise m(C) = 180 − 120 = 60°
- Dik üçgende dik açı 90° olduğu için diğer iki açının toplamı 90°’dir (tümlerdir).
- Eşkenar üçgende üç açı eşittir: 180 ÷ 3 = 60°.
- İkizkenar üçgende eş kenarların karşısındaki açılar eşittir. Tepe açısı 40° ise taban açıları (180 − 40) ÷ 2 = 70°’dir.
Dış açı
Üçgenin bir kenarını uzatınca dışarıda oluşan açıya dış açı denir.
- Bir dış açı ile ona komşu iç açı bütünlerdir (toplam 180°).
- Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
Örnek: İç açıları 50° ve 60° olan üçgende, üçüncü köşedeki dış açı 50 + 60 = 110°’dir.
Dış açılar toplamı: Her köşeden birer dış açı alınırsa toplamları 360°’dir.
Açı problemleri
Örnek 1: Bir üçgenin açıları x, 2x ve 3x ise: 6x = 180 → x = 30 → açılar 30°, 60°, 90° (bir dik üçgen).
Örnek 2: Açıları oranı 2 : 3 : 4 olan üçgenin en büyük açısı: 9 parça = 180° → 1 parça 20° → en büyük 80°.
⚠️ Bir üçgenin iki açısı toplamı 180°’ye eşit ya da büyük olamaz; böyle bir üçgen çizilemez.
Kavramlar
- İç açı
- Üçgenin iki kenarı arasında içeride kalan açı.
- Dış açı
- Bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasında dışarıda kalan açı.
- Taban açıları
- İkizkenar üçgende eş kenarların karşısındaki açılar.
- İç açılar toplamı 180°
- Dik üçgende diğer iki açı tümlerdir
- Eşkenar üçgende her açı 60°
- İkizkenarda taban açıları eşit
- Dış açı = komşu olmayan iki iç açının toplamı
- Dış açılar toplamı 360°
Örnek soru ve çözümü
Bir üçgenin iki açısı 58° ve 67°’dir. Üçüncü açı ve bu köşedeki dış açı kaç derecedir?
Üçüncü açı: 180 − 125 = 55°. Dış açı: 180 − 55 = 125° (= 58 + 67).
Çözümlü örnekler
1. Bir dik üçgenin dar açılarından biri 35° ise diğeri kaç derecedir? Kolay
Çözüm90 − 35 = 55°.
2. İkizkenar bir üçgenin tepe açısı 100° ise taban açıları kaç derecedir? Orta
Çözüm(180 − 100) ÷ 2 = 40°.
3. Bir üçgenin dış açılarından biri 130° ve ona komşu olmayan iç açılardan biri 55°’dir. Üçgenin bütün iç açılarını bulunuz. Zor
ÇözümDış açı = komşu olmayan iki iç açının toplamı: 130 = 55 + y → y = 75°. Komşu iç açı: 180 − 130 = 50°. Açılar: 55°, 75°, 50°.
Sık yapılan hatalar
- İç açılar toplamını 360° sanmak (o dörtgendir).
- Dış açıyı komşu iç açıya eşit saymak.
- İkizkenarda tepe açısını taban açılarından biri sanmak.
Biliyor muydun?
Dünya gibi küresel bir yüzeyde çizilen “üçgenlerin” iç açıları toplamı 180°’den büyük olabilir! Kuzey Kutbu’ndan Ekvator’a iki meridyen ve Ekvator ile 270°’lik bir üçgen çizilebilir.