Pozitif tam sayıların çarpanları, asal çarpanlara ayırma, EBOB-EKOK, aralarında asal sayılar ve LGS tarzı problemler.
Çarpanlar ve asal çarpanlar
Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları denir. Çarpanlar çift çift bulunur:
60: 1 × 60, 2 × 30, 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10 → 12 çarpan.
Asal çarpanlara ayırma: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
💡 Çarpan sayısı kısayolu: a = pˣ × qʸ × rᶻ ise çarpan sayısı (x + 1)(y + 1)(z + 1). 60 = 2² × 3¹ × 5¹ → (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 ✓
EBOB ve EKOK
- EBOB (en büyük ortak bölen): Ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.
- EKOK (en küçük ortak kat): Bütün asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.
72 = 2³ × 3² ve 120 = 2³ × 3 × 5
- EBOB = 2³ × 3 = 24
- EKOK = 2³ × 3² × 5 = 360
Önemli bağıntı: İki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımı → 24 × 360 = 8640 = 72 × 120 ✓
Aralarında asal sayılar
1’den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal denir.
- 8 ve 15 → aralarında asal (EBOB = 1)
- Ardışık iki pozitif tam sayı her zaman aralarında asaldır.
- Aralarında asal iki sayının EKOK’u çarpımlarıdır: EKOK(8, 15) = 120.
⚠️ Aralarında asal olmak için sayıların asal olması gerekmez: 9 ve 16 ikisi de bileşik ama aralarında asaldır.
LGS tarzı problemler
Fayans problemi (EBOB): Kenarları 180 cm ve 240 cm olan dikdörtgen bir zemin, en büyük kare fayanslarla boşluksuz döşenecek.
- Fayans kenarı: EBOB(180, 240) = 60 cm
- Fayans sayısı: (180 ÷ 60) × (240 ÷ 60) = 3 × 4 = 12
Zil problemi (EKOK): Üç zil 12, 18 ve 30 dakikada bir çalıyor. Saat 09.00’da birlikte çaldılarsa bir sonraki birlikte çalış:
- EKOK(12, 18, 30) = 180 dakika = 3 saat → 12.00
Küp problemi (EKOK): Boyutları 6, 8 ve 12 cm olan tuğlalarla oluşturulabilecek en küçük küp: EKOK = 24 cm → tuğla sayısı (24/6)(24/8)(24/12) = 4 · 3 · 2 = 24 tuğla.
Kavramlar
- Asal çarpan
- Bir sayının asal olan çarpanı.
- EBOB
- İki ya da daha çok sayının ortak bölenlerinin en büyüğü.
- EKOK
- İki ya da daha çok sayının ortak katlarının en küçüğü.
- Aralarında asal
- EBOB’u 1 olan sayılar.
- Çarpanlar çift çift bulunur
- pˣ·qʸ biçiminde çarpan sayısı = (x + 1)(y + 1)
- EBOB: ortak asallar, küçük üsler
- EKOK: bütün asallar, büyük üsler
- EBOB × EKOK = a × b
- En büyük eş parça → EBOB · birlikte yeniden / en küçük küp → EKOK
Örnek soru ve çözümü
84 ve 126 sayılarının EBOB ve EKOK’unu asal çarpanlarıyla bulunuz.
84 = 2² × 3 × 7, 126 = 2 × 3² × 7. EBOB = 2 × 3 × 7 = 42. EKOK = 2² × 3² × 7 = 252. Kontrol: 42 × 252 = 10 584 = 84 × 126 ✓
Çözümlü örnekler
1. 36 sayısının kaç pozitif çarpanı vardır? Kolay
Çözüm36 = 2² × 3² → (2 + 1)(2 + 1) = 9 çarpan.
2. İki sayının EBOB’u 6, EKOK’u 90’dır. Sayılardan biri 18 ise diğeri kaçtır? Orta
Çözüma × b = 6 × 90 = 540 → b = 540 ÷ 18 = 30.
3. Bir kutudaki bilyeler 6’şar, 8’er ve 10’ar sayıldığında her seferinde 3 bilye artıyor. Kutuda 100’den fazla olmak üzere en az kaç bilye vardır? Zor
ÇözümBilye sayısı − 3, 6, 8 ve 10’un ortak katıdır. EKOK(6, 8, 10) = 120 → bilye = 120k + 3. 100’den büyük en küçük değer 123.
Sık yapılan hatalar
- EBOB için büyük, EKOK için küçük üsleri almak.
- Kalanlı EKOK problemlerinde kalanı eklemeyi unutmak.
- Fayans sayısını bulurken alanları bölmek yerine kenarları bölüp çarpmayı unutmak.
Biliyor muydun?
Kriptoloji (şifreleme) büyük asal sayıların çarpanlara ayrılmasının çok zor olmasına dayanır. İnternet bankacılığı güvenliğini asal sayılara borçludur!