Tam sayıların tam sayı kuvvetleri, negatif üs, üslü ifadelerle işlemler, 10’un kuvvetleri ve bilimsel gösterim.
Tam sayı kuvvetleri
aⁿ: a sayısının n kez kendisiyle çarpımı (a taban, n üs).
- (−2)⁴ = 16 (çift kuvvet → pozitif)
- (−2)³ = −8 (tek kuvvet → negatif)
- −2⁴ = −(2⁴) = −16 (üs yalnız 2’ye ait)
- a⁰ = 1 (a ≠ 0) · a¹ = a · 1ⁿ = 1
Negatif üs: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
- (1/3)⁻² = 3² = 9
- (−5)⁻² = 1/25
Üslü ifadelerle işlemler
| Kural | Örnek |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 3⁴ · 3² = 3⁶ |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁷ ÷ 5³ = 5⁴ |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2³)⁴ = 2¹² |
| aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ | 2⁵ · 5⁵ = 10⁵ |
| aⁿ ÷ bⁿ = (a ÷ b)ⁿ | 12³ ÷ 4³ = 3³ |
⚠️ Toplamada üsler toplanmaz! 2³ + 2³ = 2 · 2³ = 2⁴ (2⁶ değil). Aynı tabanlı terimler toplanırken ortak çarpan alınır: 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ = 3 · 3⁵ = 3⁶.
⚠️ Kuralları uygulamak için tabanlar aynı olmalı. 4³ · 2⁵ → 4 = 2² yazılır: 2⁶ · 2⁵ = 2¹¹.
10’un kuvvetleri ve ondalık gösterim
- 10³ = 1000 · 10⁰ = 1 · 10⁻¹ = 0,1 · 10⁻³ = 0,001
- Çözümleme: 4 302,05 = 4·10³ + 3·10² + 0·10¹ + 2·10⁰ + 0·10⁻¹ + 5·10⁻²
- Bir sayıyı 10ⁿ ile çarpmak virgülü n basamak sağa, 10⁻ⁿ ile çarpmak n basamak sola kaydırır.
Bilimsel gösterim
Çok büyük ya da çok küçük sayılar a × 10ⁿ biçiminde yazılır; burada 1 ≤ |a| < 10 ve n bir tam sayıdır.
- Dünya ile Güneş arası ≈ 150 000 000 km = 1,5 × 10⁸ km
- Bir bakteri ≈ 0,000 002 m = 2 × 10⁻⁶ m
⚠️ 25 × 10⁶ ya da 0,8 × 10⁻³ bilimsel gösterim değildir; çünkü katsayı 1 ile 10 arasında olmalı: 2,5 × 10⁷ ve 8 × 10⁻⁴.
Bilimsel gösterimde işlem: (3 × 10⁵) · (4 × 10⁻²) = 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴
Kavramlar
- Taban
- Üslü ifadede tekrar tekrar çarpılan sayı.
- Üs
- Tabanın kaç kez çarpılacağını gösteren sayı.
- Negatif üs
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ biçiminde tersini alan üs.
- Bilimsel gösterim
- a × 10ⁿ (1 ≤ |a| < 10) biçiminde yazılış.
- Negatif tabanın çift kuvveti +, tek kuvveti −
- a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır
- Toplamada üsler toplanmaz: 2³ + 2³ = 2⁴
- Bilimsel gösterim: a × 10ⁿ, 1 ≤ |a| < 10
- Önce tabanları eşitle: 4 = 2², 9 = 3²
Örnek soru ve çözümü
(2⁵ · 4³) ÷ 8² işleminin sonucunu 2’nin kuvveti olarak yazınız.
4³ = 2⁶, 8² = 2⁶. (2⁵ · 2⁶) ÷ 2⁶ = 2¹¹ ÷ 2⁶ = 2⁵.
Çözümlü örnekler
1. 0,000 47 sayısını bilimsel gösterimle yazınız. Kolay
ÇözümVirgül 4 basamak sağa kayarsa 4,7 olur: 4,7 × 10⁻⁴.
2. 3⁴ + 3⁴ + 3⁴ işleminin sonucunu 3’ün kuvveti olarak yazınız. Orta
Çözüm3 · 3⁴ = 3⁵.
3. Bir bilgisayar saniyede 2,4 × 10⁹ işlem yapıyor. 5 dakikada kaç işlem yapar? Bilimsel gösterimle yazınız. Zor
Çözüm5 dakika = 300 = 3 × 10² saniye. 2,4 × 10⁹ × 3 × 10² = 7,2 × 10¹¹ işlem.
Sık yapılan hatalar
- −3² ile (−3)²’yi karıştırmak.
- Toplamada üsleri toplamak.
- Tabanları eşitlemeden kural uygulamak (2³ · 3³ ≠ 6⁶).
- Bilimsel gösterimde katsayıyı 10’dan büyük bırakmak.
Biliyor muydun?
Satranç tahtasının ilk karesine 1, ikincisine 2, üçüncüsüne 4 buğday koyarak her karede ikiye katlarsan son karede 2⁶³ ≈ 9,2 × 10¹⁸ buğday olur. Bu, dünyanın yüzlerce yıllık buğday üretiminden fazladır!