Dik prizmalar ve elemanları, silindirin açınımı, yüzey alanı ve hacmi, dik piramit ve koni.
Dik prizmalar
Tabanları birbirine paralel ve eş çokgenler, yan yüzleri dikdörtgen olan cisimlere dik prizma denir. Prizma tabanının adıyla anılır: üçgen prizma, kare prizma, altıgen prizma…
- Hacim = taban alanı × yükseklik
- Yüzey alanı = 2 × taban alanı + yanal alan (yanal alan = taban çevresi × yükseklik)
Örnek: Tabanı dik kenarları 3 ve 4 cm olan dik üçgen, yüksekliği 10 cm olan üçgen prizma:
- Taban alanı = 6 cm² → Hacim = 60 cm³
- Taban çevresi = 3 + 4 + 5 = 12 → yanal alan = 120 → Yüzey alanı = 12 + 120 = 132 cm²
Silindir
Tabanları birbirine paralel ve eş daireler olan cisme silindir denir. Konserve kutusu, bardak, boru…
Açınımı: 2 daire + 1 dikdörtgen. Dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği, diğer kenarı tabanın çevresidir (2πr).
- Hacim = πr² × h
- Yüzey alanı = 2πr² + 2πr × h
Örnek: r = 5 cm, h = 12 cm (π = 3):
- Hacim = 3 · 25 · 12 = 900 cm³
- Yüzey alanı = 2 · 3 · 25 + 2 · 3 · 5 · 12 = 150 + 360 = 510 cm²
Dik piramit ve koni
- Dik piramit: Tabanı bir çokgen, yan yüzleri bir tepe noktasında birleşen ikizkenar üçgenlerdir. Tabanına göre adlandırılır: kare dik piramit, üçgen dik piramit.
- Dik koni: Tabanı bir daire, yan yüzeyi tepe noktasında birleşen eğri bir yüzeydir. Açınımı: bir daire + bir daire dilimi.
Ayrıt-köşe-yüz sayıları:
| Cisim | Köşe | Ayrıt | Yüz |
|---|---|---|---|
| Kare prizma | 8 | 12 | 6 |
| Üçgen prizma | 6 | 9 | 5 |
| Kare dik piramit | 5 | 8 | 5 |
LGS tarzı problemler
Su dolumu: Taban yarıçapı 10 cm olan silindir biçimindeki bir kapta su yüksekliği 15 cm’dir. İçine hacmi 600 cm³ olan bir taş atılırsa su kaç cm yükselir? (π = 3)
- Taban alanı = 3 · 100 = 300 cm² → yükselme = 600 ÷ 300 = 2 cm
Kaplama: Bir silindirin yalnızca yanal yüzeyi (etiket) kâğıtla kaplanacak: r = 4, h = 10 → 2 · 3 · 4 · 10 = 240 cm² kâğıt.
💡 Problemi okurken kapağın olup olmadığına (yüzey alanında tabanların sayılıp sayılmadığına) dikkat et.
Kavramlar
- Dik prizma
- Tabanları paralel ve eş çokgen, yan yüzleri dikdörtgen olan cisim.
- Silindir
- Tabanları paralel ve eş daire olan cisim.
- Yanal alan
- Tabanlar dışındaki yüzeylerin alanları toplamı.
- Dik piramit
- Tabanı çokgen, yan yüzleri tepe noktasında birleşen ikizkenar üçgenlerden oluşan cisim.
- Prizma hacmi = taban alanı × yükseklik
- Yanal alan = taban çevresi × yükseklik
- Silindir hacmi = πr²h
- Silindir yüzey alanı = 2πr² + 2πrh
- Silindir açınımı: 2 daire + dikdörtgen (kenarı 2πr)
- Piramit yan yüzleri üçgen, koninin tabanı daire
Örnek soru ve çözümü
Taban yarıçapı 3 cm, yüksekliği 8 cm olan silindirin hacmi ve yanal alanı nedir? (π = 3)
Hacim: 3 · 9 · 8 = 216 cm³. Yanal alan: 2 · 3 · 3 · 8 = 144 cm².
Çözümlü örnekler
1. Tabanı 5 cm kenarlı kare, yüksekliği 12 cm olan kare prizmanın hacmi kaç cm³’tür? Kolay
Çözüm25 · 12 = 300 cm³.
2. Silindirin açınımındaki dikdörtgenin kenarları 30 cm ve 18 cm’dir. 30 cm taban çevresi ise silindirin taban yarıçapı kaç cm’dir? (π = 3) Orta
Çözüm2 · 3 · r = 30 → r = 5 cm.
3. Hacmi 768 cm³ olan bir silindirin yüksekliği taban yarıçapının 4 katıdır. Taban yarıçapı kaç cm’dir? (π = 3) Zor
Çözümh = 4r → hacim = 3 · r² · 4r = 12r³ = 768 → r³ = 64 → r = 4 cm (yükseklik 16 cm).
Sık yapılan hatalar
- Silindir hacminde çapı kullanmak.
- Yüzey alanında tabanları unutmak ya da kapaksız kapta iki taban saymak.
- Açınımdaki dikdörtgenin kenarını çap sanmak (taban çevresidir).
Biliyor muydun?
Arşimet, silindirin içine tam sığan kürenin hacminin silindirin 2/3’ü olduğunu kanıtladı ve bu buluşla o kadar gurur duydu ki mezar taşına silindir ile küre çizilmesini istedi.