Açı türleri; tümler ve bütünler açılar; paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar (yöndeş, iç ters, dış ters); paralel doğrular arasında kırık çizgi (zigzag) kuralı; üçgende iç ve dış açı özellikleri; iç ve dış açıortayların oluşturduğu açılar; ikizkenar ve eşkenar üçgende açılar.
Açılar ve paralel doğrular
Açı türleri: dar (0°–90°), dik (90°), geniş (90°–180°), doğru açı (180°), tam açı (360°)
- Tümler açılar: toplamı 90° · Bütünler açılar: toplamı 180° · Ters açılar eşittir.
Paralel iki doğru ve bir kesen:
- Yöndeş açılar eşittir.
- İç ters açılar eşittir (Z şekli).
- Dış ters açılar eşittir.
- Karşı durumlu iç açılar toplamı 180°dir (U şekli).
Kırık çizgi (zigzag) kuralı: İki paralel doğru arasındaki kırık çizgide bir yöne bakan açıların toplamı, öbür yöne bakan açıların toplamına eşittir.
→ Şekilde: x = 40° + 35° = 75°
Üçgende açılar
- İç açılar toplamı 180°, dış açılar toplamı 360°
- Dış açı = komşu olmayan iki iç açının toplamı
- İkizkenar üçgende taban açıları eşittir; eşkenar üçgende her açı 60°
- Bir üçgende en fazla bir dik veya geniş açı olabilir.
Açıortay kuralları (ABC üçgeninde, A açısı α):
| Durum | Sonuç |
|---|---|
| B ve C’nin iç açıortayları I’da kesişirse | m(BIC) = 90° + α/2 |
| B ve C’nin dış açıortayları E’de kesişirse | m(BEC) = 90° − α/2 |
| B’nin iç, C’nin dış açıortayı K’da kesişirse | m(BKC) = α/2 |
Örnek: m(A) = 70° ise iç açıortayların kesişiminde m(BIC) = 90 + 35 = 125°
Problem çözme stratejileri
- Bilinmeyen açıyı x ile göster, bilinen açıları şekle yaz.
- Paralellik varsa yöndeş/iç ters açıları ara; yoksa yardımcı paralel doğru çiz.
- Üçgen oluşturup iç açılar toplamını (180°) veya dış açı kuralını kullan.
- İkizkenarlık (eşit kenar ↔ eşit açı) ipuçlarını kaçırma.
Örnek: ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| ve m(A) = 40° ise m(B) = m(C) = 70°. C’deki dış açı = 180 − 70 = 110° = 40 + 70 ✓
Kavramlar
- yöndeş açı
- paralellerde aynı konumlu açılar
- iç ters açı
- Z şeklindeki eş açılar
- bütünler
- toplamı 180° olan açılar
- açıortay
- açıyı iki eşit parçaya bölen ışın
- dış açı
- bir kenarın uzantısıyla oluşan açı
- Tümler 90°, bütünler 180°, ters açılar eşit
- Paralellerde yöndeş, iç ters, dış ters açılar eşit
- Zigzag: bir yöne bakan açılar toplamı = öbür yöne bakanlar
- İç açılar 180°, dış açılar 360°
- İç açıortaylar: 90° + α/2; dış açıortaylar: 90° − α/2
- İç ve dış açıortay: α/2
Örnek soru ve çözümü
ABC üçgeninde B ve C açılarının dış açıortayları E noktasında kesişiyor. m(BEC) = 55° ise m(A) kaçtır?
m(BEC) = 90° − m(A)/2 → 55 = 90 − m(A)/2 → m(A)/2 = 35 → m(A) = 70°.
Çözümlü örnekler
1. Bir açının tümleri 25° ise bütünleri kaçtır? Kolay
ÇözümAçı 65° → bütünleri 115°.
2. Şekilde d₁ ∥ d₂ ise x kaçtır? Orta
Zigzag kuralı: x = 40° + 35° = 75°.
3. Bir üçgenin açıları 2x + 10, 3x − 20 ve x + 40 derecedir. En büyük açı kaçtır? Zor
Çözüm6x + 30 = 180 → x = 25 → açılar 60°, 55°, 65° → en büyük açı 65° (x + 40).
Sık yapılan hatalar
- Tümler ile bütünler açıları karıştırmak.
- Paralellik olmadan yöndeş açıları eşit saymak.
- İç ve dış açıortay formüllerini karıştırmak.
Biliyor muydun?
Saat 3:00’te akrep ile yelkovan arasında tam 90°, saat 6:00’da tam 180° açı vardır. Peki saat 3:30’da? 75°! (Akrep de yarım saatte 15° ilerler.)