Üçgende eşlik koşulları (KKK, KAK, AKA) ve eş üçgenlerin kullanımı; açıortay ve iç açıortay teoremi; açıortay üzerindeki noktanın kenarlara uzaklığı; kenarortay ve ağırlık merkezi (2:1); dik üçgende hipotenüse ait kenarortay; yükseklikler ve diklik merkezi; kenar orta dikmeler ve çevrel çember merkezi.
Eşlik ve kullanımı
Eşlik koşulları: KKK, KAK (iki kenar + aradaki açı), AKA (iki açı + aradaki kenar)
- Eş üçgenlerin karşılıklı tüm kenar ve açıları eşittir; bu yüzden bir kenarı veya açıyı bulmak için eş üçgen yakalamak güçlü bir yöntemdir.
- İkizkenar üçgende tepe açısının açıortayı aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir (KAK ile iki eş dik üçgen oluşur).
Örnek: |AB| = |AC|, [AD] açıortay → △ABD ≅ △ACD (KAK) → |BD| = |DC| ve AD ⊥ BC
Açıortay ve kenarortay
Açıortay:
- Açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarına eşit uzaklıktadır.
- İç açıortay teoremi: [AD], A açısının açıortayı ise → |BD| / |DC| = |AB| / |AC|
→ |AB| = 6, |AC| = 9, |BC| = 10 → |BD| = 10 · 6/15 = 4, |DC| = 6
- İç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
Kenarortay: Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçası
- Üç kenarortay ağırlık merkezinde (G) kesişir; G her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler.
→ Kenarortay 12 cm ise |AG| = 8, |GD| = 4
- Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. (Orta nokta üç köşeye eşit uzaklıktadır.)
Yükseklik ve kenar orta dikme
Yükseklik: Bir köşeden karşı kenara (veya uzantısına) çizilen dikme
- Üç yükseklik diklik merkezinde kesişir (dar açılı üçgende içte, dik üçgende dik açının köşesinde, geniş açılıda dışta).
- Alan = ½ · taban · yükseklik → yükseklikler kenarlarla ters orantılıdır.
Kenar orta dikme: Kenarın orta noktasından çıkılan dikme
- Kenar orta dikme üzerindeki her nokta, kenarın uç noktalarına eşit uzaklıktadır.
- Üç kenar orta dikme çevrel çemberin merkezinde kesişir.
| Eleman | Kesişim noktası | Özelliği |
|---|---|---|
| İç açıortaylar | İç teğet çember merkezi | Kenarlara eşit uzak |
| Kenarortaylar | Ağırlık merkezi | 2 : 1 böler |
| Yükseklikler | Diklik merkezi | — |
| Kenar orta dikmeler | Çevrel çember merkezi | Köşelere eşit uzak |
Kavramlar
- kenarortay
- köşeyi karşı kenarın ortasına birleştiren
- ağırlık merkezi
- kenarortayların kesişimi
- diklik merkezi
- yüksekliklerin kesişimi
- kenar orta dikme
- kenarın ortasından dik doğru
- çevrel çember
- köşelerden geçen çember
- Eşlik: KKK, KAK, AKA
- İkizkenarda tepe açıortayı = kenarortay = yükseklik
- İç açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC|
- Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 böler
- Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay = hipotenüs/2
- Açıortaylar → iç teğet merkezi; kenar orta dikmeler → çevrel merkez
Örnek soru ve çözümü
ABC dik üçgeninde m(A) = 90°, |BC| = 20 cm ve G ağırlık merkezidir. |AG| kaç cm’dir?
Hipotenüse ait kenarortay |AD| = 20/2 = 10. G kenarortayı 2:1 böler → |AG| = 10 · 2/3 = 20/3 cm.
Çözümlü örnekler
1. Bir kenarortayın uzunluğu 15 cm ise ağırlık merkezinin köşeye uzaklığı kaçtır? Kolay
Çözüm10 cm.
2. ABC üçgeninde [AD] iç açıortay, |AB| = 4, |AC| = 6, |BC| = 8 ise |BD| kaçtır? Orta
Çözüm|BD| = 8 · 4/10 = 3,2.
3. Kenarları 6, 8, 10 olan üçgenin çevrel çember yarıçapı kaçtır? Zor
Çözüm6² + 8² = 10² → dik üçgen; çevrel çember merkezi hipotenüsün orta noktası → R = 10/2 = 5.
Sık yapılan hatalar
- Ağırlık merkezinin kenarortayı 1:1 böldüğünü sanmak.
- Açıortay teoreminde oranları yanlış eşleştirmek.
- Her üçgende diklik merkezinin içte olduğunu düşünmek.
Biliyor muydun?
Karton bir üçgeni ağırlık merkezinden bir kalem ucuyla tutarsanız üçgen dengede durur; adı da buradan gelir!