Taban-yükseklik ile alan; dik üçgen ve eşkenar üçgen alanı; iki kenar ve aradaki açıyla alan (½·b·c·sinA); Heron formülü; aynı yükseklikli üçgenlerde alan oranı tabanlar oranıdır; kenarortayın alanı ikiye bölmesi; ağırlık merkezi ve altı eş alan; benzer üçgenlerde alan oranı.
Temel alan formülleri
- A = ½ · taban · yükseklik → A = ½ · a · hₐ
- Dik üçgen: A = ½ · (dik kenar × dik kenar)
- Eşkenar üçgen: A = a²√3 / 4
- İki kenar ve aradaki açı: A = ½ · b · c · sin A
→ sin 30° = ½, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1, sin 150° = ½
- Heron: u = (a + b + c)/2 → A = √(u(u − a)(u − b)(u − c))
→ 13, 14, 15: u = 21 → A = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84
Örnek: b = 8, c = 10, m(A) = 30° → A = ½ · 8 · 10 · ½ = 20
Alan oranları
Aynı yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir.
→ D, [BC] üzerinde ve |BD| = 2, |DC| = 3 ise A(ABD) : A(ADC) = 2 : 3
Kenarortay üçgenin alanını iki eşit parçaya böler.
Ağırlık merkezi ile köşeler ve kenar orta noktaları birleştirilince üçgen 6 eş alanlı parçaya ayrılır; G’nin köşelerle oluşturduğu üç üçgenin alanları da eşittir (her biri toplam alanın 1/3’ü).
Benzer üçgenler: Benzerlik oranı k ise alanlar oranı k²
→ Kenarları 2 kat büyütülen üçgenin alanı 4 kat olur.
Paralel kenar oluşturma: DE ∥ BC ve |AD|/|AB| = 1/3 ise A(ADE) = A(ABC) / 9; kalan yamuk alanı 8/9’dur.
Problem stratejileri
- Yüksekliği ortak üçgenleri ara → alan oranı = taban oranı
- Açı veriliyse sinüslü alan formülünü düşün
- Üç kenar biliniyorsa Heron veya Pisagor üçlüsü kontrolü (dik üçgen mi?)
- Kenarortay, ağırlık merkezi geçiyorsa eş alan özelliklerini kullan
- Paralel doğru veya benzerlik varsa k² oranı
Alandan yükseklik: Kenarları 13, 14, 15 olan üçgende 14’e ait yükseklik: 84 = ½ · 14 · h → h = 12
Kavramlar
- yükseklik
- tabana dik uzaklık
- Heron formülü
- üç kenarla alan
- yarı çevre
- (a + b + c)/2
- alan oranı
- iki alanın bölümü
- sinüs
- açıya bağlı oran
- A = ½ · taban · yükseklik
- Eşkenar üçgen: a²√3/4
- A = ½ · b · c · sin A
- Heron: √(u(u−a)(u−b)(u−c))
- Aynı yükseklik → alan oranı = taban oranı
- Kenarortay alanı ikiye böler; benzerlikte alan oranı k²
Örnek soru ve çözümü
ABC üçgeninde D, [BC] üzerinde; |BD| = 4, |DC| = 6 ve A(ABC) = 50 cm² ise A(ADC) kaçtır?
Ortak yükseklik → alanlar tabanlarla orantılı: A(ADC) = 50 · 6/10 = 30 cm².
Çözümlü örnekler
1. Dik kenarları 9 ve 12 olan dik üçgenin alanı kaçtır? Kolay
Çözüm½ · 9 · 12 = 54.
2. Kenarı 6 olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır? Orta
Çözüm36√3/4 = 9√3.
3. Kenarları 5, 5, 6 olan ikizkenar üçgenin alanını Heron formülüyle bulunuz. Zor
Çözümu = 8 → √(8 · 3 · 3 · 2) = √144 = 12.
Sık yapılan hatalar
- Yüksekliği taban dışındaki bir kenarla karıştırmak.
- Benzer üçgenlerde alan oranını k sanmak (k²).
- Sinüslü alanda aradaki açı yerine başka bir açıyı kullanmak.
Biliyor muydun?
Heron formülü yaklaşık 2000 yıl önce İskenderiyeli Heron’un eserlerinde yer aldı; açı ölçmeden yalnızca üç kenarla alan bulmayı sağlar!