Pisagor teoremi ve Pisagor üçlüleri; Pisagor’un karşıtıyla üçgen türü belirleme; özel dik üçgenler (30°-60°-90°, 45°-45°-90°, 3-4-5 ve katları); hipotenüse ait yükseklik ve Öklid bağıntıları; dik üçgende alan ve yükseklik ilişkisi; koordinat düzleminde uzaklık.
Pisagor ve özel dik üçgenler
Pisagor: Dik kenarlar a, b; hipotenüs c → a² + b² = c²
Sık kullanılan üçlüler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve katları (6-8-10, 9-12-15, 15-20-25)
Özel dik üçgenler:
| Açılar | Kenar oranları |
|---|---|
| 45°-45°-90° (ikizkenar dik) | a : a : a√2 |
| 30°-60°-90° | a (30° karşısı) : a√3 (60° karşısı) : 2a (hipotenüs) |
- 30° karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.
- Karenin köşegeni a√2, eşkenar üçgenin yüksekliği a√3/2
Öklid bağıntıları
ABC dik üçgeninde m(A) = 90°, [AH] ⊥ [BC], |BH| = p, |HC| = k, |AH| = h:
- h² = p · k
- |AB|² = p · (p + k) · |AC|² = k · (p + k)
- |AB| · |AC| = |BC| · h (alan eşitliğinden)
Örnek: Dik kenarlar 6 ve 8 → hipotenüs 10 → h = 6 · 8 / 10 = 4,8 → p = 36/10 = 3,6, k = 64/10 = 6,4
Pisagor’un karşıtı ve uzaklık
Üçgen türü (c en uzun kenar):
- c² = a² + b² → dik
- c² < a² + b² → dar açılı
- c² > a² + b² → geniş açılı
Koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklık:
|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) → A(1, 2), B(4, 6): √(9 + 16) = 5
Problem kurgusu: Merdiven, direk-gölge, çapraz yürüme, ekran köşegeni gibi durumlarda dik üçgeni bul, bilinenleri yerleştir, Pisagor uygula.
Kavramlar
- hipotenüs
- dik açının karşısındaki kenar
- Pisagor üçlüsü
- tam sayı dik üçgen kenarları
- Öklid bağıntısı
- hipotenüse ait yükseklik bağıntıları
- köşegen
- karşı köşeleri birleştiren
- dik izdüşüm
- dikme ile oluşan parça
- a² + b² = c²
- Üçlüler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17
- 45-45-90: a, a, a√2
- 30-60-90: a, a√3, 2a
- Öklid: h² = p·k; |AB|·|AC| = |BC|·h
- c² > a² + b² ise geniş açılı
Örnek soru ve çözümü
30°-60°-90° üçgeninde 60° karşısındaki kenar 6√3 cm ise hipotenüs ve diğer dik kenar kaç cm’dir?
a√3 = 6√3 → a = 6 (30° karşısı), hipotenüs 2a = 12 cm.
Çözümlü örnekler
1. Kenarı 7 cm olan karenin köşegeni kaçtır? Kolay
Çözüm7√2 cm.
2. Kenarı 10 olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaçtır? Orta
Çözüm10√3/2 = 5√3.
3. Dik kenarları 9 ve 12 olan dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaçtır? Zor
ÇözümHipotenüs 15 → h = 9 · 12 / 15 = 7,2.
Sık yapılan hatalar
- 30° karşısındaki kenarı a√3 sanmak (a’dır).
- Öklid bağıntısında p ve k’yi karıştırmak.
- Uzaklık formülünde kareleri almadan toplamak.
Biliyor muydun?
Eski Mısırlıların 12 eşit aralıklı düğüm atılmış iplerle 3-4-5 üçgeni kurup tarlalarında dik açı oluşturduğu anlatılır!