Koordinat düzleminde öteleme, eksenlere ve y = x doğrusuna göre yansıma, orijin etrafında 90° ve 180° dönme; şekli koruyan (eşlik) dönüşümler; merkezil ölçekleme (homoteti) ve benzer şekiller; ardışık dönüşümler.
Öteleme
Şeklin her noktası aynı yönde ve aynı miktarda kaydırılır. Şeklin boyutu, biçimi ve yönü değişmez.
(x, y) → (x + a, y + b)
- a > 0 sağa, a < 0 sola; b > 0 yukarı, b < 0 aşağı
Örnek: A(1, 1), B(3, 1), C(1, 4) üçgeni 4 birim sağa, 2 birim aşağı ötelenirse
→ A′(5, −1), B′(7, −1), C′(5, 2)
Yansıma
Şekil bir doğruya göre ayna görüntüsü gibi çevrilir. Görüntü ile şekil doğruya eşit uzaklıktadır.
| Yansıma | Kural |
|---|---|
| x eksenine göre | (x, y) → (x, −y) |
| y eksenine göre | (x, y) → (−x, y) |
| y = x doğrusuna göre | (x, y) → (y, x) |
| orijine göre | (x, y) → (−x, −y) |
Örnek: P(3, −2) noktasının
- x eksenine göre yansıması (3, 2)
- y eksenine göre yansıması (−3, −2)
- y = x’e göre yansıması (−2, 3)
Dönme
Şekil bir merkez etrafında belirli bir açı kadar döndürülür. (Pozitif yön: saatin tersi)
| Orijin etrafında dönme | Kural |
|---|---|
| 90° (saat yönünün tersine) | (x, y) → (−y, x) |
| 180° | (x, y) → (−x, −y) |
| 270° (veya saat yönünde 90°) | (x, y) → (y, −x) |
Örnek: A(4, 1) noktası orijin etrafında 90° döndürülürse A′(−1, 4) olur.
💡 Öteleme, yansıma ve dönme eşlik dönüşümleridir: uzunluklar ve açılar korunur; görüntü şekle eştir.
Ölçekleme (homoteti)
Merkezi O olan, oranı k olan ölçekleme: (x, y) → (kx, ky)
- k > 1 → büyütme, 0 < k < 1 → küçültme
- Açılar korunur, uzunluklar k katına çıkar → görüntü şekle benzerdir.
- Alan k² katına, (cisimlerde) hacim k³ katına çıkar.
Örnek: Kenarları 2, 3, 4 olan bir üçgen k = 3 ile ölçeklenirse kenarlar 6, 9, 12 olur; alan 9 katına çıkar.
Kavramlar
- öteleme
- kaydırma dönüşümü
- yansıma
- aynadaki görüntü
- dönme
- merkez etrafında çevirme
- ölçekleme
- büyütme / küçültme
- eşlik dönüşümü
- şekli değiştirmeyen dönüşüm
- Öteleme: (x, y) → (x + a, y + b)
- x eksenine göre yansıma: (x, −y); y eksenine göre: (−x, y)
- y = x’e göre yansıma: (y, x)
- Orijin etrafında 90°: (−y, x); 180°: (−x, −y)
- Öteleme, yansıma, dönme eşlik dönüşümleridir
- Ölçekleme k: uzunluk k katı, alan k² katı
Örnek soru ve çözümü
A(2, 3) noktası önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra 5 birim sağa ötelenip orijin etrafında 180° döndürülüyor. Son görüntü nedir?
Yansıma: (−2, 3). Öteleme: (3, 3). 180° dönme: (−3, −3).
Çözümlü örnekler
1. B(−4, 6) noktasının x eksenine göre yansıması nedir? Kolay
Çözüm(−4, −6).
2. C(5, −2) noktası orijin etrafında 90° (saat yönünün tersine) döndürülürse görüntü nedir? Orta
Çözüm(−y, x) = (2, 5).
3. Alanı 12 cm² olan bir şekil k = 2,5 oranında büyütülürse yeni alan kaç cm² olur? Zor
Çözüm12 · 2,5² = 12 · 6,25 = 75 cm².
Sık yapılan hatalar
- x eksenine göre yansımada x’in işaretini değiştirmek (y değişir!).
- 90° dönmede (−y, x) yerine (y, −x) yazmak (bu saat yönünde dönmedir).
- Ölçeklemede alanın da k katına çıktığını sanmak (k² katı).
Biliyor muydun?
Kaleydoskoplar ardışık yansımalarla çalışır; iki ayna arasındaki açı 60° olduğunda 6 kat simetrik desenler oluşur!