Paralel doğrular arasında orantı (Tales teoremi); dik üçgende hipotenüse ait yükseklik ve Öklid bağıntıları; Pisagor teoremi ve ispatı; Pisagor üçlüleri; Pisagor teoreminin karşıtı ile dik üçgen kontrolü; eşlik ve benzerlik problemleri.
Pisagor teoremi
Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir:
a² + b² = c² (c: hipotenüs, 90° karşısı; şekilde a = 3, b = 4, c = 5)
İspat fikri (alan yöntemi): Kenarı a + b olan bir karenin içine 4 eş dik üçgen yerleştirilir. Ortada kenarı c olan bir kare kalır.
(a + b)² = 4 · (ab/2) + c² → a² + 2ab + b² = 2ab + c² → a² + b² = c² ∎
Pisagor üçlüleri: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) ve katları (6, 8, 10), (9, 12, 15)…
Karşıtı: Kenarları a, b, c olan bir üçgende a² + b² = c² ise üçgen diktir.
- c² < a² + b² → dar açılı · c² > a² + b² → geniş açılı (c en uzun kenar)
Öklid bağıntıları
ABC dik üçgeninde (A = 90°) hipotenüse ait yükseklik h = |AH|, |BH| = p, |HC| = k olsun.
- h² = p · k (yükseklik bağıntısı)
- |AB|² = p · (p + k) · |AC|² = k · (p + k) (dik kenar bağıntıları)
- |AB| · |AC| = |BC| · h (alan iki yoldan)
Örnek: p = 4, k = 9 → h² = 36 → h = 6; |AB|² = 4 · 13 = 52 → |AB| = 2√13
💡 Bu bağıntılar, yüksekliğin oluşturduğu üç dik üçgenin birbirine benzer olmasından gelir.
Tales teoremi
Paralel doğruların iki kesenle oluşturduğu karşılıklı doğru parçaları orantılıdır.
d₁ ∥ d₂ ∥ d₃ doğrularını iki kesen doğru A, B, C ve D, E, F noktalarında kesiyorsa:
|AB| / |BC| = |DE| / |EF|
Örnek: |AB| = 3, |BC| = 5, |DE| = 4,5 ise |EF| = 4,5 · 5 / 3 = 7,5
Uygulama – Bir doğru parçasını eşit parçalara bölme: Bir uçtan eğik bir ışın çizilir, üzerine eşit aralıklarla işaret konur; son işaret diğer uca birleştirilip bu doğruya paralel doğrular çizilir. Tales teoremine göre parça eşit bölünür.
Problemler
Merdiven: 5 m’lik merdiven duvardan 3 m uzağa konursa duvara 4 m yükseklikte dayanır.
Televizyon ekranı: “55 inç” ekranın köşegeni 55 inçtir. En-boy oranı 16 : 9 ise
→ (16x)² + (9x)² = 55² → 337x² = 3025 → x ≈ 3 → en ≈ 48 inç, boy ≈ 27 inç
Kısa yol: Kare şeklindeki bir parkın kenarı 60 m. Köşeden karşı köşeye çapraz yürüyen kişi
→ 60√2 ≈ 84,9 m yürür; kenarlardan gitseydi 120 m → ≈ 35 m kısa yol
Kavramlar
- hipotenüs
- dik açının karşısındaki kenar
- Pisagor üçlüsü
- a² + b² = c² sağlayan tam sayılar
- köşegen
- karşı köşeleri birleştiren doğru parçası
- yükseklik
- tepeden karşı kenara dik uzaklık
- kesen
- paralelleri kesen doğru
- Pisagor: a² + b² = c² (c hipotenüs)
- Pisagor üçlüleri: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17
- Karşıtı: a² + b² = c² ise dik üçgen
- Öklid: h² = p · k
- Tales: paralellerin kestiği parçalar orantılı
- Karenin köşegeni a√2
Örnek soru ve çözümü
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik hipotenüsü 2 cm ve 8 cm’lik parçalara ayırıyor. Yüksekliği ve dik kenarları bulunuz.
h² = 2 · 8 = 16 → h = 4. Dik kenarlar: √(2 · 10) = 2√5 ve √(8 · 10) = 4√5. Kontrol: 20 + 80 = 100 = 10² ✓
Çözümlü örnekler
1. Dik kenarları 9 ve 12 olan dik üçgenin hipotenüsü kaçtır? Kolay
Çözüm√(81 + 144) = √225 = 15.
2. Kenarları 7, 8 ve 11 olan üçgen dar, dik ya da geniş açılı mıdır? Orta
Çözüm11² = 121 > 49 + 64 = 113 → geniş açılı.
3. Şekildeki dik üçgende h kaçtır? Zor
h² = 4 · 9 = 36 → h = 6.
Sık yapılan hatalar
- Hipotenüs yerine bir dik kenarı c alıp formülü yanlış kurmak.
- a + b = c sanmak (kareler toplanır).
- Pisagor teoremini dik olmayan üçgenlere uygulamak.
Biliyor muydun?
Pisagor teoremi en çok farklı yolla ispatlanmış teoremdir; 1940’ta yayımlanan bir kitapta 370’ten fazla ispat toplanmıştı. ABD Başkanı James Garfield da bir ispat bulmuştu!