Asal sayılar ve aritmetiğin temel teoremi; asal çarpanlara ayırma; pozitif bölen sayısı ve bölenler toplamı; aralarında asal sayılar; EBOB ve EKOK, EBOB·EKOK = a·b; EBOB-EKOK problemleri; 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 ile bölünebilme kuralları; bölme algoritması ve kalan problemleri.
Asal çarpanlar ve bölenler
Asal sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1’den büyük doğal sayı → 2, 3, 5, 7, 11, 13… (2 tek çift asaldır)
Aritmetiğin temel teoremi: 1’den büyük her doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak tek bir şekilde yazılır.
→ 360 = 2³ · 3² · 5
Pozitif bölen sayısı: n = pᵃ · qᵇ · rᶜ → (a + 1)(b + 1)(c + 1)
→ 360: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 pozitif bölen
- Tam sayı bölen sayısı = 2 × pozitif bölen sayısı = 48
- Asal olmayan pozitif bölen sayısı = 24 − 3 = 21
Bölenler toplamı: (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 15 · 13 · 6 = 1170
EBOB ve EKOK
- EBOB: ortak asal çarpanların en küçük üslüleri
- EKOK: tüm asal çarpanların en büyük üslüleri
→ 84 = 2²·3·7, 90 = 2·3²·5 → EBOB = 2·3 = 6, EKOK = 2²·3²·5·7 = 1260
- EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b → 6 · 1260 = 7560 = 84 · 90 ✓
- Aralarında asal: EBOB = 1 → EKOK = çarpım
Problem türleri:
| İpucu | Kullan |
|---|---|
| “En büyük kare fayans”, “eşit parçalara bölme”, “en az ağaç (kenarlara)” | EBOB |
| “En küçük kare oluşturma”, “ilk kez birlikte”, “her birine bölündüğünde aynı kalan” | EKOK |
Örnek: Üç zil 12, 18 ve 30 dakikada bir çalıyor. Saat 09.00’da birlikte çaldılarsa bir sonraki birlikte çalış: EKOK = 180 dk → 12.00
| Sayı | Asal çarpanlar |
|---|---|
| 84 | 2² · 3 · 7 |
| 90 | 2 · 3² · 5 |
| EBOB | 2 · 3 = 6 |
| EKOK | 2² · 3² · 5 · 7 = 1260 |
Bölünebilme kuralları ve kalan
| Bölen | Kural |
|---|---|
| 2 | Son basamak çift |
| 3 | Rakamlar toplamı 3’ün katı |
| 4 | Son iki basamak 4’ün katı |
| 5 | Son basamak 0 veya 5 |
| 6 | 2 ve 3’e bölünür |
| 8 | Son üç basamak 8’in katı |
| 9 | Rakamlar toplamı 9’un katı |
| 10 | Son basamak 0 |
| 11 | Sağdan başlayarak +, −, + … işaretli rakamlar toplamı 11’in katı |
Bölme algoritması: a = b·q + r (0 ≤ r < b)
Kalan problemleri: 2025’in 9 ile bölümünden kalan → rakamlar toplamı 2 + 0 + 2 + 5 = 9 → kalan 0
Örnek: 4a7b dört basamaklı sayısı 5 ve 9 ile bölünebiliyorsa: b = 0 → 4 + a + 7 = 11 + a → a = 7 (18) · b = 5 → 16 + a → a = 2 (18)
Kavramlar
- asal sayı
- yalnız 1 ve kendine bölünen
- bölen
- kalansız bölen sayı
- EBOB
- en büyük ortak bölen
- EKOK
- en küçük ortak kat
- aralarında asal
- EBOB’u 1 olan sayılar
- Her sayı asal çarpanlarına tek şekilde ayrılır
- Bölen sayısı: (a+1)(b+1)(c+1)
- EBOB: ortak en küçük üsler; EKOK: tüm en büyük üsler
- EBOB · EKOK = a · b
- 3 ve 9: rakamlar toplamı; 4: son iki basamak; 8: son üç basamak
- a = b·q + r, 0 ≤ r < b
Örnek soru ve çözümü
120 sayısının kaç pozitif böleni vardır? Bunlardan kaçı asaldır?
120 = 2³·3·5 → (3+1)(1+1)(1+1) = 16 pozitif bölen; asal bölenler 2, 3, 5 → 3 tane.
Çözümlü örnekler
1. EBOB(36, 48) kaçtır? Kolay
Çözüm12.
2. İki sayının EBOB’u 8, EKOK’u 240, sayılardan biri 48 ise diğeri kaçtır? Orta
Çözüm8 · 240 / 48 = 40.
3. 5 basamaklı 7a2b4 sayısı 4 ve 9 ile tam bölünüyor. a + b’nin alabileceği değerler nelerdir? Zor
Çözüm4: son iki basamak b4 → b ∈ {0, 2, 4, 6, 8} için b4’ün 4’e bölünmesi gerekir: 04, 24, 44, 64, 84 hepsi uygun. 9: 7+a+2+b+4 = 13 + a + b → 9’un katı → a + b = 5 veya 14.
Sık yapılan hatalar
- 1’i asal sayı sanmak.
- Bölen sayısında üslere 1 eklemeyi unutmak.
- EBOB ve EKOK problemlerini karıştırmak.
Biliyor muydun?
Bilinen en büyük asal sayılar milyonlarca basamaklıdır ve “Mersenne asalları” (2ⁿ − 1 biçiminde) arasında bulunur; gönüllülerin bilgisayarlarıyla yürütülen bir projeyle aranır!