Dik koordinat sistemi ve bölgeler; iki nokta arasındaki uzaklık; orta nokta; bir doğru parçasını belirli oranda bölen nokta; üçgenin ağırlık merkezi; köşe koordinatları bilinen üçgen ve çokgenin alanı; noktanın eksenlere ve orijine göre simetriği.
Uzaklık ve orta nokta
İki nokta arası uzaklık: A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) →
|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
→ A(1, 2), B(4, 6): √(9 + 16) = 5
Orta nokta: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
→ A(1, 1), B(7, 1): M(4, 1)
Noktanın orijine uzaklığı: √(x² + y²)
Bölgeler: I. bölge (+, +), II. (−, +), III. (−, −), IV. (+, −)
Simetri:
- x eksenine göre: (x, −y) · y eksenine göre: (−x, y) · orijine göre: (−x, −y) · y = x’e göre: (y, x)
Oranlı bölme ve ağırlık merkezi
[AB]’yi |AP| : |PB| = m : n oranında içten bölen P:
P = ((n·x₁ + m·x₂)/(m + n), (n·y₁ + m·y₂)/(m + n))
→ A(1, 2), B(7, 8), oran 1 : 2 → P = ((2·1 + 1·7)/3, (2·2 + 1·8)/3) = (3, 4)
Üçgenin ağırlık merkezi: G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
→ A(1, 1), B(7, 1), C(3, 6): G = (11/3, 8/3)
Paralelkenarın dördüncü köşesi: Köşegenler birbirini ortalar → A + C = B + D
Koordinatlarla alan
Taban yatay veya düşeyse: taban ve yüksekliği doğrudan oku
→ A(1, 1), B(7, 1), C(3, 6): taban |AB| = 6, yükseklik = 6 − 1 = 5 → Alan = ½ · 6 · 5 = 15
Genel formül (ayakkabı bağı / determinant yöntemi):
Alan = ½ · |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
→ ½ · |1(1 − 6) + 7(6 − 1) + 3(1 − 1)| = ½ · |−5 + 35 + 0| = 15 ✓
Üç noktanın doğrusal olması: Formülle bulunan alan 0 ise noktalar aynı doğru üzerindedir.
Kavramlar
- koordinat
- noktanın konum sayıları
- orta nokta
- doğru parçasını ikiye bölen nokta
- ağırlık merkezi
- kenarortayların kesişimi
- doğrusal noktalar
- aynı doğru üzerindeki noktalar
- simetrik nokta
- yansımayla elde edilen nokta
- |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
- Orta nokta: koordinatların ortalaması
- m : n oranında bölen nokta formülü
- Ağırlık merkezi: köşe koordinatlarının ortalaması
- Alan = ½|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
- Alan 0 ise noktalar doğrusal
Örnek soru ve çözümü
A(−2, 3) ve B(4, −5) noktaları için |AB| ve [AB]’nin orta noktasını bulunuz.
|AB| = √(36 + 64) = 10. M = ((−2 + 4)/2, (3 − 5)/2) = (1, −1).
Çözümlü örnekler
1. P(3, −4) noktasının orijine uzaklığı kaçtır? Kolay
Çözüm√(9 + 16) = 5.
2. Şekildeki ABC üçgeninin alanı kaçtır? Orta
Taban 6, yükseklik 5 → 15.
3. A(1, 1), B(3, 5), C(k, 9) noktaları doğrusal ise k kaçtır? Zor
ÇözümAB’nin eğimi (5−1)/(3−1) = 2; BC için (9−5)/(k−3) = 2 → k = 5.
Sık yapılan hatalar
- Uzaklık formülünde farkların karesini almayı unutmak.
- Oranlı bölmede ağırlıkları ters koymak.
- Alan formülünde mutlak değeri unutmak.
Biliyor muydun?
Koordinat sistemine “Kartezyen” denmesinin nedeni René Descartes’tır. Rivayete göre Descartes, tavanda yürüyen bir sineğin yerini iki duvara olan uzaklıkla tanımlayabileceğini fark etmişti!