Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi konu anlatımı

Eğim: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan α (α: doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı)

• m > 0: artan (α dar) · m < 0: azalan (α geniş) · m = 0: yatay · x = a doğrusu: eğimi tanımsız (dikey)

Doğru denklemi:

• Bir nokta ve eğim: y − y₁ = m(x − x₁)
• Eğim-kesen biçimi: y = mx + n (n: y eksenini kestiği nokta)
• Genel biçim: ax + by + c = 0 → m = −a/b

Örnek: A(1, 2) ve B(3, 8) → m = 6/2 = 3 → y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 1

Eksenleri kesme: x = 0 → y-kesişim; y = 0 → x-kesişim

→ 2x + 3y − 12 = 0: (0, 4) ve (6, 0) → eksen parçaları biçimi: x/6 + y/4 = 1

• Paralel doğrular: eğimleri eşit → m₁ = m₂
• Dik doğrular: eğimlerinin çarpımı −1 → m₁ · m₂ = −1

→ y = 2x + 5 doğrusuna dik olan doğrunun eğimi −1/2

Örnek: (4, 1) noktasından geçen ve y = 2x + 5’e dik olan doğru: y − 1 = −½(x − 4) → y = −½x + 3

İki doğrunun kesim noktası: Denklemler ortak çözülür.

→ y = 2x − 1 ve y = −x + 5 → 2x − 1 = −x + 5 → x = 2, y = 3 → (2, 3)

P(x₀, y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı:

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)

Örnek: P(1, 2) noktasının 3x + 4y − 1 = 0 doğrusuna uzaklığı: |3 + 8 − 1| / √25 = 10/5 = 2

Paralel iki doğru arası uzaklık: ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 → |c₁ − c₂| / √(a² + b²)

Gerçek hayat: Bir köyün (nokta) düz bir otoyola (doğru) en kısa bağlantı yolu, dik uzaklık boyunca yapılır.