Dik üçgende sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranları; 30°, 45°, 60° açılarının trigonometrik değerleri; tümler açıların trigonometrik oranları; temel özdeşlikler (sin²x + cos²x = 1, tan x = sin x / cos x); trigonometriyle yükseklik ve uzaklık problemleri.
Trigonometrik oranlar
Dik üçgende dar açı α için:
| Oran | Tanım |
|---|---|
| sin α | karşı dik kenar / hipotenüs |
| cos α | komşu dik kenar / hipotenüs |
| tan α | karşı / komşu |
| cot α | komşu / karşı |
Şekilde (3-4-5 üçgeni): sin α = 3/5, cos α = 4/5, tan α = 3/4, cot α = 4/3
- Dar açılar için 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1
- Oranlar üçgenin büyüklüğüne değil, açıya bağlıdır (benzer üçgenler!).
Özel açılar ve tümler açılar
| α | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
Tümler açılar (α + β = 90°):
- sin α = cos β · tan α = cot β
→ sin 20° = cos 70° · tan 35° = cot 55°
Hatırlatma: 30°-60°-90° üçgeninde kenarlar 1 : √3 : 2; 45°-45°-90° üçgeninde 1 : 1 : √2
Özdeşlikler ve problemler
Temel özdeşlikler:
- sin²α + cos²α = 1 (Pisagor’dan)
- tan α = sin α / cos α, cot α = cos α / sin α, tan α · cot α = 1
- 1 + tan²α = 1 / cos²α
Örnek: sin α = 5/13 (α dar) → cos α = √(1 − 25/169) = 12/13 → tan α = 5/12
Yükseklik problemi: Bir ağacın tepesine 20 m uzaktan 30°’lik açıyla bakılıyor → h = 20 · tan 30° = 20 · √3/3 ≈ 11,5 m
Eğim: Bir rampanın eğimi = tan α → %10 eğim: tan α = 0,1
Kavramlar
- sinüs
- karşı/hipotenüs
- kosinüs
- komşu/hipotenüs
- tanjant
- karşı/komşu
- tümler açı
- toplamı 90° olan açı
- özdeşlik
- her değer için doğru eşitlik
- sin = karşı/hipotenüs, cos = komşu/hipotenüs
- tan = karşı/komşu, cot = komşu/karşı
- sin 30 = 1/2, cos 60 = 1/2, tan 45 = 1
- Tümler açılar: sin α = cos(90° − α)
- sin²α + cos²α = 1
- tan α · cot α = 1
Örnek soru ve çözümü
Dar açılı α için tan α = 2 ise sin α ve cos α kaçtır?
Karşı 2, komşu 1 → hipotenüs √5 → sin α = 2/√5 = 2√5/5, cos α = √5/5.
Çözümlü örnekler
1. sin 60° · cos 30° kaçtır? Kolay
Çözüm√3/2 · √3/2 = 3/4.
2. cos α = 0,6 ise (α dar) sin α kaçtır? Orta
Çözüm√(1 − 0,36) = 0,8.
3. Bir uçurtma ipi 50 m uzunluğunda ve yerle 60°’lik açı yapıyor. Uçurtmanın yerden yüksekliği kaç m’dir? Zor
Çözümh = 50 · sin 60° = 25√3 ≈ 43,3 m.
Sık yapılan hatalar
- Karşı ve komşu kenarı açıya göre değil, şekle göre karıştırmak.
- sin 30° ile cos 30°’yi karıştırmak.
- sin²α ifadesini sin(α²) sanmak.
Biliyor muydun?
“Sinüs” sözcüğü, Arapça “ceyb” (kıvrım, yaka cebi) kelimesinin Latinceye yanlış çevrilmesiyle ortaya çıkmıştır!