Geniş açıların trigonometrik oranları (sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α); kenarortay uzunluğu; yükseklik ve alan; iki kenar ve aradaki açıyla alan (½·b·c·sin A); sinüs teoremi ve çevrel çember yarıçapı; kosinüs teoremi; üç kenarı veya iki kenar-bir açısı verilen üçgenleri çözme.
Geniş açılar ve alan
Geniş açı (90° < α < 180°):
- sin(180° − α) = sin α → sin 120° = sin 60° = √3/2 · sin 150° = 1/2
- cos(180° − α) = −cos α → cos 120° = −1/2 · cos 135° = −√2/2
- sin 90° = 1, cos 90° = 0
Alan: A = ½ · b · c · sin A (iki kenar ve aradaki açı)
→ b = 6, c = 8, m(A) = 120° → A = ½ · 6 · 8 · √3/2 = 12√3
Yükseklik: hₐ = b · sin C = c · sin B
Kenarortay uzunluğu (Apollonius): 4·Vₐ² = 2(b² + c²) − a²
→ b = 6, c = 8, a = 10 → 4V² = 2(36 + 64) − 100 = 100 → Vₐ = 5 (dik üçgende hipotenüse ait kenarortay = 5 ✓)
Sinüs teoremi
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (R: çevrel çemberin yarıçapı)
- Büyük açı karşısında büyük kenar sonucunun trigonometrik ifadesidir.
Ne zaman kullanılır? İki açı + bir kenar ya da iki kenar + birinin karşısındaki açı verildiğinde
Örnek: m(A) = 30°, m(B) = 45°, a = 4 → b = a · sin B / sin A = 4 · (√2/2) / (1/2) = 4√2
Çevrel çember: 2R = a / sin A = 4 / (1/2) = 8 → R = 4
Kosinüs teoremi
a² = b² + c² − 2·b·c·cos A (diğer kenarlar için benzer)
- A = 90° ise cos A = 0 → Pisagor teoremi özel durumdur.
Ne zaman kullanılır? İki kenar ve aradaki açı (üçüncü kenarı bulmak) ya da üç kenar (açıyı bulmak)
Örnek 1: b = 5, c = 8, m(A) = 60° → a² = 25 + 64 − 2·5·8·(1/2) = 49 → a = 7
Örnek 2: Kenarları 3, 5, 7 olan üçgenin en büyük açısı → 49 = 9 + 25 − 30·cos C → cos C = −1/2 → C = 120°
| Verilen | Kullan |
|---|---|
| 3 kenar | Kosinüs teoremi |
| 2 kenar + aradaki açı | Kosinüs teoremi |
| 2 açı + 1 kenar | Sinüs teoremi |
| 2 kenar + birinin karşı açısı | Sinüs teoremi |
Kavramlar
- sinüs teoremi
- kenar/sinüs oranlarının eşitliği
- kosinüs teoremi
- genelleştirilmiş Pisagor
- çevrel çember
- üçgenin köşelerinden geçen çember
- kenarortay
- köşeyi karşı kenarın ortasına bağlayan
- geniş açı
- 90°–180° arası açı
- sin(180° − α) = sin α; cos(180° − α) = −cos α
- Alan = ½·b·c·sin A
- Kenarortay: 4Vₐ² = 2(b² + c²) − a²
- Sinüs teoremi: a/sin A = 2R
- Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc·cos A
- 3 kenar → kosinüs; 2 açı + kenar → sinüs
Örnek soru ve çözümü
Bir ABC üçgeninde b = 4, c = 6 ve m(A) = 60° ise a kenarı ve alan kaçtır?
a² = 16 + 36 − 2·4·6·(1/2) = 28 → a = 2√7. Alan = ½·4·6·sin 60° = 12·√3/2 = 6√3.
Çözümlü örnekler
1. cos 150° kaçtır? Kolay
Çözüm−cos 30° = −√3/2.
2. m(A) = 30° ve a = 5 ise çevrel çember yarıçapı kaçtır? Orta
Çözüm2R = 5/(1/2) = 10 → R = 5.
3. Kenarları 5, 7, 8 olan üçgende 7’nin karşısındaki açıyı bulunuz. Zor
Çözüm49 = 25 + 64 − 80·cos B → cos B = 40/80 = 1/2 → B = 60°.
Sık yapılan hatalar
- cos 120°’yi pozitif almak (−1/2).
- Kosinüs teoreminde aradaki açı yerine başka açıyı kullanmak.
- Sinüs teoreminde kenarı karşısındaki olmayan açıyla eşleştirmek.
Biliyor muydun?
Kosinüs teoremi, eski Yunan’da Öklid’in Elemanlar’ında geometrik biçimde yer alır; trigonometrik biçimini ise İslam matematikçileri (özellikle el-Kâşî) geliştirdi. Bu yüzden Fransa’da “el-Kâşî teoremi” olarak da bilinir!