f(x) = ax² + bx + c fonksiyonu; a’nın işaretine göre kolların yönü; tepe noktası T(r, k), r = −b/2a; simetri ekseni; eksenleri kestiği noktalar ve diskriminant; tepe noktası biçimi f(x) = a(x − r)² + k; en büyük/en küçük değer; artan-azalan aralıklar; parabolle modelleme (fırlatılan cisim, alan en büyükleme).
Parabolün temel özellikleri
f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) grafiği bir paraboldür.
- a > 0: kollar yukarı (∪) → tepe noktası en küçük değer
- a < 0: kollar aşağı (∩) → tepe noktası en büyük değer
- |a| büyüdükçe parabol daralır.
Tepe noktası T(r, k): r = −b / 2a, k = f(r)
Simetri ekseni: x = r doğrusu
y eksenini kestiği nokta: (0, c)
x eksenini kestiği noktalar: ax² + bx + c = 0’ın kökleri → Δ = b² − 4ac
- Δ > 0: iki noktada keser · Δ = 0: teğet · Δ < 0: kesmez
Örnek: f(x) = x² − 4x + 3 → r = 4/2 = 2, k = 4 − 8 + 3 = −1 → T(2, −1); kökler 1 ve 3; y-kesişim (0, 3)
Tepe noktası biçimi ve dönüşümler
f(x) = a(x − r)² + k → tepe (r, k) doğrudan okunur.
- x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1 (tam kareye tamamlama)
Kökler biliniyorsa: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
→ Kökleri −1 ve 5 olan, (0, −10) noktasından geçen parabol: f(x) = a(x + 1)(x − 5), −10 = a(1)(−5) → a = 2
Artan-azalan: a > 0 ise (−∞, r] aralığında azalan, [r, ∞) aralığında artan
Görüntü kümesi: a > 0 ise [k, ∞), a < 0 ise (−∞, k]
Modelleme: en büyük ve en küçük değer
Fırlatılan top: h(t) = −5t² + 20t + 1 (metre, saniye)
- En yüksek nokta: t = −20/(−10) = 2 s, h(2) = −20 + 40 + 1 = 21 m
Alan en büyükleme: 40 m tel ile bir duvar kenarına üç kenarı çitle çevrili dikdörtgen bahçe yapılacak (duvara dik kenarlar x).
- Alan A(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x → x = 10 → A = 200 m² (boyutlar 10 × 20)
Kâr: K(x) = −x² + 60x − 500 → en büyük kâr x = 30 birimde, K = 400
Kavramlar
- parabol
- ikinci derece fonksiyon grafiği
- tepe noktası
- parabolün dönüm noktası
- simetri ekseni
- parabolü iki eş parçaya bölen doğru
- diskriminant
- Δ = b² − 4ac
- tam kareye tamamlama
- a(x − r)² + k biçimine getirme
- a > 0 kollar yukarı, a < 0 aşağı
- Tepe: r = −b/2a, k = f(r)
- Simetri ekseni x = r
- Δ > 0 iki kesişim, Δ = 0 teğet, Δ < 0 kesişim yok
- f(x) = a(x − r)² + k
- Tepe noktası en büyük/en küçük değeri verir
Örnek soru ve çözümü
f(x) = −x² + 6x − 5 parabolünün tepe noktasını, en büyük değerini ve x-eksenini kestiği noktaları bulunuz.
r = −6/(−2) = 3, k = −9 + 18 − 5 = 4 → T(3, 4), en büyük değer 4. −x² + 6x − 5 = 0 → x² − 6x + 5 = 0 → x = 1, x = 5.
Çözümlü örnekler
1. f(x) = 2x² − 8x + 1 parabolünün simetri ekseni nedir? Kolay
Çözümx = 8/4 = 2.
2. Grafikteki parabolün görüntü kümesi nedir? Orta
Tepe (2, −1), kollar yukarı → [−1, ∞).
3. Toplamları 20 olan iki pozitif sayının çarpımı en fazla kaçtır? Zor
Çözümx(20 − x) = −x² + 20x → x = 10 → 100.
Sık yapılan hatalar
- Tepe noktasında r = b/2a almak (eksi işareti).
- a < 0 iken tepe noktasını en küçük değer sanmak.
- Δ < 0 iken parabolün hiç çizilemeyeceğini sanmak (x eksenini kesmez sadece).
Biliyor muydun?
Uydu çanakları ve araba farları parabol şeklindedir: Parabolün odak noktasından çıkan ışınlar paralel yansır, paralel gelen sinyaller ise odakta toplanır!