f(x) = √x ve dönüşümleri (a√(x − h) + k); tanım ve görüntü kümesi; artanlık ve başlangıç noktası; f(x) = 1/x ve f(x) = a/(x − h) + k biçimindeki rasyonel fonksiyonlar; düşey ve yatay asimptotlar; grafik okuma; ters orantı modelleri; karekök ve rasyonel denklemler.
Karekök fonksiyonu
f(x) = √x → tanım kümesi [0, ∞), görüntü kümesi [0, ∞), artan, (0, 0)’dan başlar.
f(x) = a·√(x − h) + k
- Başlangıç noktası (h, k)
- a > 0 ise grafik yukarı doğru, a < 0 ise aşağı doğru ilerler.
Örnek: f(x) = √(x − 2) + 1 → tanım kümesi [2, ∞), görüntü kümesi [1, ∞), başlangıç (2, 1)
Karekök denklemi: √(x + 3) = x − 3 → kare al: x + 3 = x² − 6x + 9 → x² − 7x + 6 = 0 → x = 1 veya 6 → kontrol: x = 1 için √4 = 2 ≠ −2 ✗ · x = 6 için √9 = 3 ✓ → Ç = {6}
⚠️ Kare alınınca yabancı kök oluşabilir; mutlaka kontrol edilir.
Model: Sarkacın periyodu T ≈ 2√L (L: metre, T: saniye) → ip 4 kat uzarsa periyot 2 kat artar.
Rasyonel fonksiyon
f(x) = 1/x → x ≠ 0; grafiği iki koldan oluşan hiperbol; x = 0 ve y = 0 doğrularına yaklaşır ama dokunmaz.
f(x) = a/(x − h) + k:
- Düşey asimptot: x = h (paydayı sıfır yapan değer)
- Yatay asimptot: y = k
- Tanım kümesi ℝ − {h}, görüntü kümesi ℝ − {k}
Örnek: f(x) = 2/(x − 1) + 3 → düşey asimptot x = 1, yatay asimptot y = 3
(ax + b)/(cx + d) biçiminde: düşey asimptot x = −d/c, yatay asimptot y = a/c
→ (2x + 1)/(x − 3): x = 3 ve y = 2
Ters orantı modeli: Bir işi x işçi 12/x günde bitirir → f(x) = 12/x (x > 0)
Grafik ve problem yorumu
Karşılaştırma:
| Fonksiyon | Tanım kümesi | Özellik |
|---|---|---|
| √x | [0, ∞) | yavaş artan |
| x² (x ≥ 0) | [0, ∞) | hızla artan, √x’in tersi |
| 1/x | ℝ − {0} | asimptotlar x = 0, y = 0 |
Ortalama maliyet: Bir atölyenin sabit gideri 1200 TL, ürün başı maliyet 30 TL → ortalama maliyet M(x) = (1200 + 30x)/x = 1200/x + 30
→ Üretim arttıkça ortalama maliyet 30 TL’ye yaklaşır (yatay asimptot y = 30) ama altına düşmez.
Kavramlar
- karekök fonksiyonu
- f(x) = √x
- rasyonel fonksiyon
- polinomların bölümü
- asimptot
- grafiğin yaklaştığı doğru
- hiperbol
- 1/x grafiğinin şekli
- yabancı kök
- kontrolde sağlamayan kök
- √x: tanım ve görüntü [0, ∞), artan
- a√(x − h) + k başlangıç noktası (h, k)
- Karekök denklemlerinde yabancı kök kontrolü
- a/(x − h) + k: düşey asimptot x = h, yatay y = k
- (ax + b)/(cx + d): yatay asimptot a/c
- Ortalama maliyet modelleri rasyonel fonksiyondur
Örnek soru ve çözümü
f(x) = −√(x + 4) + 2 fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
x + 4 ≥ 0 → [−4, ∞). √ ≥ 0 olduğundan −√ ≤ 0 → f(x) ≤ 2 → görüntü (−∞, 2].
Çözümlü örnekler
1. f(x) = √(x − 5) fonksiyonunun tanım kümesi nedir? Kolay
Çözüm[5, ∞).
2. f(x) = (3x − 2)/(x + 4) fonksiyonunun asimptotları nelerdir? Orta
ÇözümDüşey x = −4, yatay y = 3.
3. √(2x + 1) = x − 1 denklemini çözünüz. Zor
Çözüm2x + 1 = x² − 2x + 1 → x² − 4x = 0 → x = 0 veya 4. Kontrol: x = 0 → 1 ≠ −1 ✗; x = 4 → 3 = 3 ✓ → Ç = {4}.
Sık yapılan hatalar
- Karekök denkleminde kontrol yapmadan iki kökü de kabul etmek.
- Asimptotu grafiğin kestiği bir doğru sanmak.
- f(x) = √x’in negatif değer alabileceğini düşünmek.
Biliyor muydun?
Bir arabanın fren mesafesi hızın karesiyle artar; bu yüzden tersine, belli bir fren mesafesinde güvenli hız, mesafenin kareköküyle orantılıdır!