Pascal üçgeninin oluşturulması ve kombinasyonla ilişkisi; satır toplamları (2ⁿ); (a + b)ⁿ binom açılımı; terim sayısı, katsayılar ve genel terim; katsayılar toplamı (x = 1 yazma); sabit terim; binomun sayma problemleriyle ilişkisi (alt küme sayısı).
Pascal üçgeni
Her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır; kenarlar 1’dir.
| n | Satır |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
- n. satırdaki sayılar C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n)’dir.
- n. satırın toplamı 2ⁿ → n elemanlı kümenin alt küme sayısı!
- C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1) (Pascal kuralı)
Binom açılımı
(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + C(n,2)aⁿ⁻²b² + … + C(n,n)bⁿ
- Terim sayısı: n + 1
- Her terimde üsler toplamı n
- Baştan (r + 1). terim: C(n, r)·aⁿ⁻ʳ·bʳ
Örnek: (x + 2)⁴ = x⁴ + 4·x³·2 + 6·x²·4 + 4·x·8 + 16 = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16
(a − b)ⁿ: İşaretler +, −, +, − … sırayla değişir → (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1
Katsayılar toplamı ve sabit terim
Katsayılar toplamı: Değişkenlere 1 yazılır.
→ (2x − 3y)⁵ katsayılar toplamı = (2 − 3)⁵ = −1
Sabit terim: Değişkenin üssü 0 olan terim
→ (x + 1/x)⁶: genel terim C(6, r)·x⁶⁻ʳ·x⁻ʳ = C(6, r)·x⁶⁻²ʳ → 6 − 2r = 0 → r = 3 → C(6, 3) = 20
Belirli bir terimin katsayısı: (x + 3)⁵ açılımında x³’lü terimin katsayısı → r = 2 → C(5, 2)·3² = 10·9 = 90
Kavramlar
- binom
- iki terimli ifade
- Pascal üçgeni
- kombinasyon katsayıları üçgeni
- genel terim
- açılımın herhangi bir terimi
- sabit terim
- değişken içermeyen terim
- katsayı
- terimin sayı kısmı
- Pascal: her sayı üstteki iki sayının toplamı
- n. satır: C(n, 0) … C(n, n); toplamı 2ⁿ
- (a + b)ⁿ açılımında n + 1 terim
- (r + 1). terim: C(n, r)·aⁿ⁻ʳ·bʳ
- Katsayılar toplamı: değişkenlere 1 yaz
- (a − b)ⁿ’de işaretler sırayla değişir
Örnek soru ve çözümü
(x − 2)⁵ açılımında x²’li terimin katsayısını bulunuz.
x² için r = 3: C(5, 3)·x²·(−2)³ = 10·(−8)·x² → katsayı −80.
Çözümlü örnekler
1. (a + b)⁷ açılımında kaç terim vardır? Kolay
Çözüm8.
2. Pascal üçgeninin 6. satırı nedir? Orta
Çözüm1 6 15 20 15 6 1.
3. (3x − 1)⁴ açılımının katsayılar toplamı kaçtır? Zor
Çözüm(3 − 1)⁴ = 16.
Sık yapılan hatalar
- Terim sayısını n sanmak (n + 1).
- (a − b)ⁿ açılımında işaretleri unutmak.
- Genel terimde r yerine r + 1 kullanmak.
Biliyor muydun?
Pascal üçgeni Pascal’dan yüzyıllar önce Çin’de Yang Hui, İran’da Ömer Hayyam tarafından da biliniyordu; bu yüzden bazı ülkelerde “Hayyam üçgeni” denir!