Toplama ve çarpma yoluyla sayma; faktöriyel; sıralama (permütasyon) ve tekrarlı permütasyon; dairesel sıralama; seçme (kombinasyon); “en az”, “en çok”, yan yana olma-olmama, kısıtlı sayma problemleri; sistematik listeleme ve ağaç diyagramı.
Toplama ve çarpma ilkesi
Toplama ilkesi: Ayrık seçeneklerden biri seçilecekse seçenekler toplanır.
→ 4 roman veya 3 hikâye kitabından bir kitap: 4 + 3 = 7
Çarpma ilkesi: Art arda yapılan bağımsız seçimlerde seçenekler çarpılır.
→ 3 tişört, 2 pantolon, 4 ayakkabı: 3 · 2 · 4 = 24 farklı kombin
Rakam problemleri: {0, 1, 2, 3, 4} ile rakamları farklı üç basamaklı sayılar:
- Yüzler basamağı 0 olamaz → 4 · onlar 4 · birler 3 = 48
- Bunlardan çift olanlar: birler 0 ise 4·3 = 12; birler 2 veya 4 ise 3·3·2 = 18 → 30
Faktöriyel: n! = n·(n − 1)···2·1 · 0! = 1 · 5! = 120
Permütasyon (sıralama)
n farklı nesnenin sıralanması: n!
n nesneden r tanesinin sıralanması: P(n, r) = n! / (n − r)!
→ 8 kişilik sınıfta başkan, yardımcı, sekreter: P(8, 3) = 8·7·6 = 336
Tekrarlı permütasyon: n nesneden a tanesi, b tanesi aynıysa → n! / (a!·b!)
→ “ANKARA” (6 harf, 3 A): 6!/3! = 120
Dairesel sıralama: n kişi yuvarlak masaya → (n − 1)! → 5 kişi: 4! = 24
Yan yana olma: 5 kişiden Ali ile Ece yan yana → onları tek kişi say: 4! · 2! = 48
Yan yana olmama: Tümü − yan yana → 120 − 48 = 72
Kombinasyon (seçme)
Sıranın önemli olmadığı seçim: C(n, r) = n! / (r!·(n − r)!)
- C(n, 0) = C(n, n) = 1 · C(n, r) = C(n, n − r)
→ 10 kişiden 3 kişilik ekip: C(10, 3) = 120
Permütasyon mu, kombinasyon mu?
| Durum | Hangisi? |
|---|---|
| Sıra/görev önemli (başkan-yardımcı, şifre, sıralama) | Permütasyon |
| Sadece grup önemli (ekip, takım, komisyon, el sıkışma) | Kombinasyon |
Örnekler:
- 7 kişi birbiriyle birer kez tokalaşıyor: C(7, 2) = 21
- 6 erkek, 4 kız arasından 2 erkek 1 kız: C(6, 2)·C(4, 1) = 15·4 = 60
- En az 1 kız olan 3 kişilik grup: tümü − hiç kız yok = C(10, 3) − C(6, 3) = 120 − 20 = 100
- Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 8 noktayla üçgen sayısı: C(8, 3) = 56
| Sıra önemli | Sıra önemsiz | |
|---|---|---|
| Seçim + sıralama | P(n, r) | — |
| Yalnız seçim | — | C(n, r) |
| Örnek | şifre, sıralama | ekip, tokalaşma |
Kavramlar
- permütasyon
- sıralama
- kombinasyon
- seçme
- faktöriyel
- n·(n−1)···1
- dairesel permütasyon
- yuvarlak dizilim
- çarpma ilkesi
- ardışık seçimlerin çarpılması
- Ayrık seçenekler toplanır, ardışık seçimler çarpılır
- n! ; 0! = 1
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Tekrarlı: n!/(a!b!); dairesel: (n − 1)!
- C(n, r) = n!/(r!(n − r)!)
- “En az bir” → tümü − hiç
Örnek soru ve çözümü
5 kız ve 4 erkek öğrenci arasından 4 kişilik bir ekip seçilecek. Ekipte en az 1 erkek bulunan kaç farklı ekip kurulabilir?
Tümü C(9, 4) = 126; hiç erkek olmayan C(5, 4) = 5 → 126 − 5 = 121.
Çözümlü örnekler
1. 4 kitap rafa kaç farklı şekilde dizilir? Kolay
Çözüm4! = 24.
2. “KALEM” kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç kelime yazılır? Orta
Çözüm5! = 120 (harfler farklı).
3. “SAKARYA” kelimesinin harfleriyle kaç farklı dizilim yapılır? Zor
Çözüm7 harf, 3 A → 7!/3! = 840.
Sık yapılan hatalar
- Sıranın önemli olduğu durumda kombinasyon kullanmak.
- Rakam problemlerinde 0’ın başa gelemeyeceğini unutmak.
- Dairesel sıralamada n! kullanmak.
Biliyor muydun?
Bir iskambil destesindeki 52 kartın dizilebileceği farklı sıraların sayısı (52!) o kadar büyüktür ki iyice karıştırılmış bir destenin aynısının tarihte daha önce hiç oluşmamış olması neredeyse kesindir!