Dönüşüm kavramı ve eş (izometrik) dönüşümler; koordinat düzleminde öteleme (x + a, y + b); eksenlere, orijine ve y = x, y = −x doğrularına göre yansıma; orijin etrafında 90°, 180°, 270° dönme; dönüşümlerin art arda uygulanması (bileşke); simetri ve dönme simetrisi; sanatta ve mimaride dönüşümler (Selçuklu desenleri, Escher).
Öteleme ve yansıma
Dönüşüm: Düzlemdeki her noktayı bir kurala göre başka bir noktaya eşleme
Eş (izometrik) dönüşüm: Uzunlukları ve açıları korur → öteleme, yansıma, dönme
Öteleme: Şekli yön ve büyüklüğü belli bir vektör boyunca kaydırma: (x, y) → (x + a, y + b)
Ör. (2, 3) noktası 4 birim sağa, 5 birim aşağı → (6, −2)
Yansıma:
| Yansıma ekseni | Kural |
|---|---|
| x ekseni | (x, y) → (x, −y) |
| y ekseni | (x, y) → (−x, y) |
| Orijin | (x, y) → (−x, −y) |
| y = x doğrusu | (x, y) → (y, x) |
| y = −x doğrusu | (x, y) → (−y, −x) |
Dönme
Dönme: Şekli sabit bir merkez etrafında belli bir açı kadar çevirme (saat yönünün tersi pozitif)
Orijin etrafında:
| Açı | Kural |
|---|---|
| 90° | (x, y) → (−y, x) |
| 180° | (x, y) → (−x, −y) (orijine göre yansıma ile aynı) |
| 270° (veya −90°) | (x, y) → (y, −x) |
Örnek: A(3, 1) noktası orijin etrafında 90° döndürülürse A′(−1, 3)
Bileşke dönüşümler: Art arda uygulanabilir. Ör. önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıma = orijin etrafında 180° dönme
Simetri ve sanatta dönüşümler
- Yansıma simetrisi: Şekil bir doğruya göre katlanınca üst üste gelir (kelebek, Türk bayrağındaki ay-yıldız yatay eksene göre simetrik)
- Dönme simetrisi: Şekil bir merkez etrafında 360°’den küçük bir açıyla döndürülünce kendisiyle çakışır → kare 4. dereceden (90°), düzgün altıgen 6. dereceden (60°)
- Öteleme simetrisi: Duvar kâğıtları, kilim ve çini desenleri tekrarlanır.
Sanat ve mimaride: Selçuklu ve Osmanlı geometrik desenleri (girih), çini panolar, kilim motifleri dönme ve yansıma simetrisine dayanır. Hollandalı sanatçı M. C. Escher, Elhamra Sarayı’ndaki İslam desenlerinden etkilenerek ünlü “mozaik” resimlerini yapmıştır.
Kavramlar
- öteleme
- şekli kaydırma
- yansıma
- şekli bir doğruya göre aynalama
- dönme
- şekli bir merkez etrafında çevirme
- izometri
- uzunluğu koruyan dönüşüm
- dönme simetrisi
- döndürünce kendisiyle çakışma
- Eş dönüşümler uzunluk ve açıyı korur
- Öteleme (x + a, y + b)
- x eksenine yansıma (x, −y); y eksenine (−x, y); y = x’e (y, x)
- Orijin etrafında 90°: (−y, x); 180°: (−x, −y)
- İki eksene art arda yansıma = 180° dönme
- Dönme simetrisi: kare 4., altıgen 6. dereceden
Örnek soru ve çözümü
Şekildeki mavi üçgenin A(1, 1) köşesi; y eksenine göre yansıma, x eksenine göre yansıma ve orijin etrafında 90° dönme sonrası hangi noktalara gider?
y eksenine göre (−1, 1) (yeşil); x eksenine göre (1, −1) (turuncu); 90° dönme ile (−1, 1) (mor üçgenin köşesi).
Çözümlü örnekler
1. (4, −2) noktasının x eksenine göre yansıması nedir? Kolay
Çözüm(4, 2).
2. (−3, 5) noktası orijin etrafında 180° döndürülürse nereye gider? Orta
Çözüm(3, −5).
3. (2, 5) noktası önce y = x doğrusuna göre yansıtılıyor, sonra 3 birim sola ötelenirse son konumu nedir? Zor
ÇözümYansıma (5, 2); öteleme (2, 2).
Sık yapılan hatalar
- x eksenine göre yansımada x’in işaretini değiştirmek.
- 90° dönmede (−y, x) yerine (y, −x) yazmak.
- Dönüşümlerin şeklin boyutunu değiştirdiğini sanmak.
Biliyor muydun?
Kar taneleri 6. dereceden dönme simetrisine sahiptir; çünkü buz kristallerindeki su molekülleri altıgen bir düzende dizilir!