Koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklık; orta nokta ve bir doğru parçasını belli oranda bölen nokta; eğim ve eğim açısı; doğru denklemleri (eğim-nokta, iki nokta, y = mx + n, ax + by + c = 0); eksenlere paralel doğrular; iki doğrunun paralellik (m₁ = m₂) ve diklik (m₁·m₂ = −1) koşulları; noktanın doğruya uzaklığı; iki doğrunun kesişim noktası.
Uzaklık ve orta nokta
A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) için:
- Uzaklık: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) → Pisagor bağıntısı
- Orta nokta: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
Örnek: A(1, 2), B(7, 6)
- |AB| = √(6² + 4²) = √52 = 2√13
- M = (4, 4)
Ağırlık merkezi (üçgen): G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
Eğim ve doğru denklemleri
Eğim: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan α (α: doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı)
- m > 0 artan, m < 0 azalan, m = 0 yatay (x eksenine paralel), dikey doğrunun eğimi tanımsız
Doğru denklemleri:
| Bilinen | Denklem |
|---|---|
| Eğim m ve nokta (x₁, y₁) | y − y₁ = m(x − x₁) |
| Eğim ve y-kesişimi n | y = mx + n |
| Genel biçim | ax + by + c = 0 → m = −a/b |
| x eksenine paralel | y = k |
| y eksenine paralel | x = k |
Örnek: A(1, 2), B(7, 6) → m = 4/6 = 2/3 → y − 2 = (2/3)(x − 1) → 2x − 3y + 4 = 0
Paralellik, diklik ve uzaklık
İki doğru d₁ (m₁) ve d₂ (m₂):
- Paralel: m₁ = m₂ (ve farklı doğrular)
- Dik: m₁ · m₂ = −1
- Kesişim noktası: Denklemleri ortak çöz.
Noktanın doğruya uzaklığı: P(x₀, y₀) ile ax + by + c = 0 arası
d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²)
Örnek: P(3, 4) noktasının 3x + 4y − 5 = 0 doğrusuna uzaklığı: |9 + 16 − 5|/5 = 4
Paralel iki doğru arası uzaklık: ax + by + c₁ = 0 ve ax + by + c₂ = 0 → |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
Kavramlar
- eğim
- doğrunun dikliği, Δy/Δx
- orta nokta
- doğru parçasını ikiye bölen nokta
- eğim açısı
- doğrunun x ekseniyle yaptığı açı
- genel denklem
- ax + by + c = 0
- ağırlık merkezi
- kenarortayların kesişimi
- Uzaklık √(Δx² + Δy²), orta nokta koordinatların ortalaması
- Eğim m = Δy/Δx = tan α
- y − y₁ = m(x − x₁); y = mx + n; ax + by + c = 0 için m = −a/b
- Paralel m₁ = m₂; dik m₁·m₂ = −1
- Dikey doğrunun eğimi tanımsız
- Noktanın doğruya uzaklığı |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)
Örnek soru ve çözümü
Şekle göre AB doğru parçasının uzunluğunu, orta noktasını ve eğimini bulunuz.
Yatay fark 6, dikey fark 4 → |AB| = √52 = 2√13; M(4, 4); m = 4/6 = 2/3.
Çözümlü örnekler
1. A(2, 3) ve B(8, 11) arasındaki uzaklık kaçtır? Kolay
Çözüm√(36 + 64) = 10.
2. Eğimi 2 olan ve (1, 5) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Orta
Çözümy − 5 = 2(x − 1) → y = 2x + 3.
3. y = 3x − 1 doğrusuna dik ve (3, 2) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Zor
Çözümm = −1/3 → y − 2 = −(1/3)(x − 3) → x + 3y − 9 = 0.
Sık yapılan hatalar
- Eğimde Δx’i paya yazmak.
- Diklik koşulunu m₁ = −m₂ sanmak.
- Dikey doğrunun eğimini 0 sanmak.
Biliyor muydun?
Koordinat düzlemi fikri Descartes’a, bir sinek tavanda dolaşırken onun yerini iki duvara olan uzaklıklarla tarif edebileceğini düşündüğünde gelmiştir — öyle anlatılır!