Genel terim, ortak fark/oran ve ilk n terim toplamı.
Dizi kavramı
Tanım kümesi pozitif tam sayılar olan fonksiyona dizi denir; aₙ dizinin genel terimidir. Örneğin aₙ = 2n + 1 dizisinin terimleri 3, 5, 7, … şeklindedir.
Aritmetik dizi
Ardışık terimleri arasındaki fark sabit (d) olan dizidir. aₙ = a₁ + (n − 1)d. İlk n terim toplamı Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır.
Geometrik dizi
Ardışık terimlerin oranı sabit (r) olan dizidir. aₙ = a₁·rⁿ⁻¹. İlk n terim toplamı (r ≠ 1) Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1). Bir terimin karesi, ona eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir. Faiz, nüfus artışı ve bakteri çoğalması geometrik dizilerle modellenir.
- Aritmetik: aₙ = a₁ + (n − 1)d
- Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
- Geometrik: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹
- Geometrik toplam: a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)
Örnek soru ve çözümü
İlk terimi 3, ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin 10. terimi ve ilk 10 terim toplamı nedir?
a₁₀ = 3 + 9·4 = 39; S₁₀ = 10·(3 + 39)/2 = 210.