Dönüşüm kavramı ve izometri (uzunluk ve açıyı koruyan dönüşümler); öteleme (x, y) → (x + a, y + b); eksenlere, orijine, y = x ve y = −x doğrularına, x = a ve y = b doğrularına göre yansıma; orijin etrafında 90°, 180°, 270° ve θ açılı dönme; nokta etrafında dönme; ardışık dönüşümler ve bileşke; fonksiyon grafiklerinde öteleme ve yansıma: y = f(x) + k, y = f(x − a), y = −f(x), y = f(−x), y = k · f(x); dönüşümlerin sanat ve tasarımda kullanımı.
Öteleme ve yansıma
Dönüşüm: Düzlemdeki her noktayı belirli bir kurala göre başka bir noktaya eşleme
İzometri: Uzunluğu ve açıyı koruyan dönüşüm → öteleme, yansıma, dönme izometridir; şekil eş kalır.
Öteleme: (x, y) → (x + a, y + b)
- A(2, −1) noktası 3 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenirse → A′(5, 3)
Yansıma kuralları:
| Neye göre | Görüntü |
|---|---|
| x eksenine | (x, −y) |
| y eksenine | (−x, y) |
| Orijine | (−x, −y) |
| y = x doğrusuna | (y, x) |
| y = −x doğrusuna | (−y, −x) |
| x = a doğrusuna | (2a − x, y) |
| y = b doğrusuna | (x, 2b − y) |
- A(3, 5) noktasının x = 1 doğrusuna göre yansıması → (2 − 3, 5) = (−1, 5)
Dönme
Orijin etrafında pozitif yönde (saat yönünün tersine) dönme:
| Açı | Görüntü |
|---|---|
| 90° | (x, y) → (−y, x) |
| 180° | (x, y) → (−x, −y) (orijine göre yansıma ile aynı) |
| 270° | (x, y) → (y, −x) |
| θ | (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) |
- P(4, 2) noktası orijin etrafında 90° döndürülürse → P′(−2, 4)
- Saat yönünde 90° dönme = pozitif yönde 270° dönme
Bir nokta etrafında dönme: M(a, b) merkez ise
- Merkezi orijine taşı: (x − a, y − b)
- Orijin etrafında döndür
- Geri ötele: + (a, b)
- A(5, 3) noktasının M(2, 1) etrafında 90° dönmesi: (3, 2) → (−2, 3) → (0, 4)
Ardışık dönüşümler: Sıra önemlidir; önce yansıma sonra öteleme ile önce öteleme sonra yansıma genellikle farklı sonuç verir.
Fonksiyon grafiklerinde dönüşümler
| Dönüşüm | Grafik değişimi |
|---|---|
| y = f(x) + k | k birim yukarı (k < 0 ise aşağı) |
| y = f(x − a) | a birim sağa (a < 0 ise sola) |
| y = −f(x) | x eksenine göre yansıma |
| y = f(−x) | y eksenine göre yansıma |
| y = k · f(x) | Düşey yönde k kat uzama (0 < k < 1 ise kısalma) |
Örnek: y = x² parabolünden y = (x − 2)² − 1 grafiğini elde etmek için
- 2 birim sağa, 1 birim aşağı öteleme → tepe noktası (0, 0) → (2, −1)
Sanat ve tasarım: Süsleme sanatlarında (çini, kilim, geometrik desenler) motiflerin öteleme, yansıma ve dönme ile tekrar edilmesi; Escher’in mozaikleri; logo tasarımında simetriler
💡 Bir fonksiyonun parantez içindeki değişimi ters yönde, dışındaki değişimi aynı yönde etkiler: f(x − 2) sağa kayar.
Kavramlar
- izometri
- uzunluk ve açıyı koruyan dönüşüm
- öteleme
- şekli kaydırma
- yansıma
- bir doğruya göre ayna görüntüsü
- dönme
- bir merkez etrafında çevirme
- görüntü
- dönüşüm sonucu elde edilen nokta
- Öteleme: (x, y) → (x + a, y + b)
- x eksenine (x, −y); y eksenine (−x, y); orijine (−x, −y)
- y = x doğrusuna (y, x); x = a doğrusuna (2a − x, y)
- 90° dönme: (−y, x); 270°: (y, −x)
- Nokta etrafında dönme: merkeze taşı → döndür → geri ötele
- f(x − a) + k: a sağa, k yukarı; −f(x) x eksenine yansıma
Örnek soru ve çözümü
Şekildeki mavi üçgenin A(1, 3) köşesinin y eksenine, x eksenine ve orijine göre yansımalarını bulunuz ve renklerle eşleştiriniz.
y eksenine göre yansıma (−1, 3): yeşil üçgen. x eksenine göre yansıma (1, −3): turuncu üçgen. Orijine göre yansıma (−1, −3): mor üçgen. Yansımalar izometri olduğundan dört üçgen eştir.
Çözümlü örnekler
1. A(−2, 5) noktasının x eksenine göre yansıması nedir? Kolay
Çözüm(−2, −5).
2. B(3, −4) noktası orijin etrafında 270° döndürülürse görüntüsü nedir? Orta
Çözüm(x, y) → (y, −x) → (−4, −3).
3. y = x² − 4x + 7 parabolü y = x² parabolünün hangi ötelemesiyle elde edilir? Zor
Çözümx² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3 → 2 birim sağa, 3 birim yukarı öteleme; tepe noktası (2, 3).
Sık yapılan hatalar
- y = x doğrusuna yansımada koordinatların işaretini değiştirmek (yalnızca yer değiştirir).
- f(x − 2) grafiğini sola kaydırmak.
- 90° dönmede (y, −x) ile (−y, x) kurallarını karıştırmak.
Biliyor muydun?
Hollandalı sanatçı M. C. Escher, Granada’daki Elhamra Sarayı’nın geometrik çinilerinden etkilenerek öteleme, yansıma ve dönmelerle düzlemi boşluksuz dolduran ünlü mozaiklerini tasarladı!