Merkezi ve yarıçapı verilen çemberin denklemi (x − a)² + (y − b)² = r²; merkezil çember x² + y² = r²; eksenlere teğet çemberler; çemberin genel denklemi x² + y² + Dx + Ey + F = 0, merkez ve yarıçapın bulunması, çember belirtme şartı (D² + E² − 4F > 0); bir noktanın çembere göre konumu; doğru ile çemberin birbirine göre durumları (uzaklık ve diskriminant ile); çembere bir noktasından çizilen teğetin denklemi; iki çemberin birbirine göre durumları.
Çemberin denklemi
Çember: Düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki (yarıçap) noktaların kümesi
Standart denklem: Merkez M(a, b), yarıçap r → (x − a)² + (y − b)² = r²
- M(2, 1), r = 3 → (x − 2)² + (y − 1)² = 9
- Merkezil çember (merkez orijin): x² + y² = r²
Eksenlere teğet çemberler:
- x eksenine teğet: r = |b| · y eksenine teğet: r = |a|
- İki eksene teğet: |a| = |b| = r → (x − 3)² + (y − 3)² = 9
Uç noktaları verilen çap: A(1, 2) ve B(7, 10) çapın uçları ise
- Merkez orta nokta (4, 6), r = |AB| / 2 = √(36 + 64) / 2 = 5
- Denklem: (x − 4)² + (y − 6)² = 25
Genel denklem
Genel denklem: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
- Merkez: M(−D/2, −E/2)
- Yarıçap: r = (1/2)√(D² + E² − 4F)
- Çember belirtme şartı: D² + E² − 4F > 0 (= 0 ise tek nokta, < 0 ise boş küme)
- x² ve y²’nin katsayıları eşit olmalı, xy terimi olmamalıdır.
Örnek: x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0
- D = −4, E = 6, F = −12 → M(2, −3)
- r = (1/2)√(16 + 36 + 48) = (1/2) · 10 = 5
- Tam kareye tamamlama ile kontrol: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 12 = 0 → (x − 2)² + (y + 3)² = 25 ✓
Noktanın çembere göre konumu: P noktasının merkeze uzaklığı |PM|
- |PM| < r → içte · |PM| = r → üzerinde · |PM| > r → dışta
- Pratik: Noktayı denklemin sol tarafında yerine koy; < 0 içte, = 0 üzerinde, > 0 dışta
Doğru ve çember
Doğru ile çemberin durumu: Merkezin doğruya uzaklığı d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) ile r karşılaştırılır (ya da ortak çözümdeki ikinci derece denklemin diskriminantına bakılır).
Örnek: x² + y² = 25 çemberi ile 3x + 4y − 25 = 0 doğrusu
- d = |0 + 0 − 25| / √(9 + 16) = 25 / 5 = 5 = r → doğru çembere teğettir
Teğet denklemi: Çember üzerindeki T noktasında teğet, MT yarıçapına diktir.
- x² + y² = r² çemberine T(x₁, y₁) noktasındaki teğet: x₁x + y₁y = r²
- x² + y² = 25, T(3, 4) → teğet: 3x + 4y = 25
İki çemberin durumu: Merkezler arası uzaklık d, yarıçaplar r₁ ≥ r₂
- d > r₁ + r₂ → ayrık · d = r₁ + r₂ → dıştan teğet · r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ → iki noktada kesişir · d = r₁ − r₂ → içten teğet
| Merkezin doğruya uzaklığı (d) | Δ (ortak çözümde) | Durum |
|---|---|---|
| d < r | Δ > 0 | Doğru çemberi iki noktada keser |
| d = r | Δ = 0 | Doğru çembere teğettir |
| d > r | Δ < 0 | Doğru çemberi kesmez |
Kavramlar
- merkez
- çemberin noktalarına eşit uzaklıktaki nokta
- yarıçap
- merkezle çember üzerindeki nokta arası uzaklık
- teğet
- çembere tek noktada dokunan doğru
- kesen
- çemberi iki noktada kesen doğru
- genel denklem
- açılmış çember denklemi
- (x − a)² + (y − b)² = r²; merkezil: x² + y² = r²
- Genel denklem: merkez (−D/2, −E/2), r = ½√(D² + E² − 4F)
- Çember şartı: D² + E² − 4F > 0
- Nokta: |PM| < r içte, = r üzerinde, > r dışta
- Doğru: d < r kesen, d = r teğet, d > r dışta
- x² + y² = r² için T(x₁, y₁)’de teğet: x₁x + y₁y = r²
Örnek soru ve çözümü
Şekildeki çemberin merkezi M(2, 1) ve yarıçapı 3’tür. Denklemini yazınız; P(4, 3) noktasının çembere göre konumunu belirleyiniz.
Denklem (x − 2)² + (y − 1)² = 9’dur. |PM| = √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,83 < 3 olduğundan P çemberin içindedir. (Yerine koyma: 4 + 4 − 9 = −1 < 0.)
Çözümlü örnekler
1. Merkezi (−1, 4) ve yarıçapı 2 olan çemberin denklemi nedir? Kolay
Çözüm(x + 1)² + (y − 4)² = 4.
2. x² + y² + 6x − 2y + 6 = 0 çemberinin merkezi ve yarıçapı nedir? Orta
ÇözümM(−3, 1); r = (1/2)√(36 + 4 − 24) = (1/2) · 4 = 2.
3. Merkezi (1, 2) olan ve 3x − 4y + 15 = 0 doğrusuna teğet çemberin denklemi nedir? Zor
Çözümr = |3 − 8 + 15| / 5 = 10/5 = 2 → (x − 1)² + (y − 2)² = 4.
Sık yapılan hatalar
- (x + 3)² ifadesinde merkezin apsisini +3 almak (−3’tür).
- Genel denklemde yarıçapı √(D² + E² − 4F) yazıp 1/2’yi unutmak.
- r² yerine r yazmak.
Biliyor muydun?
GPS alıcıları konumunuzu, uydulara olan uzaklıklarla tanımlanan kürelerin (düzlemde çemberlerin) kesişimini hesaplayarak bulur!