Ortalama değişim hızı ve kesen doğrusunun eğimi; anlık değişim oranı ve teğet doğrusunun eğimi; türevin limit ile tanımı f′(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h; türevin fiziksel anlamı (konum → hız → ivme); soldan ve sağdan türev, türevlenebilirlik ile süreklilik ilişkisi (köşe ve sivri noktalarda türevin olmaması); teğet ve normal doğrusu denklemleri.
Ortalama ve anlık değişim
Ortalama değişim hızı: [a, b] aralığında (f(b) − f(a)) / (b − a) → kesen doğrusunun eğimi
- Bir araç 2 saatte 160 km gittiyse ortalama hızı 80 km/sa’tir; ama hız göstergesi her an farklı değer gösterir.
Anlık değişim oranı: b noktası a’ya sınırsız yaklaştırıldığında kesenin eğiminin yaklaştığı değer → teğet doğrusunun eğimi
Örnek: f(x) = x² için A(1, 1)
| B noktası | Kesen eğimi |
|---|---|
| (2, 4) | (4 − 1)/(2 − 1) = 3 |
| (1,5; 2,25) | 1,25 / 0,5 = 2,5 |
| (1,1; 1,21) | 0,21 / 0,1 = 2,1 |
| (1,01; 1,0201) | 2,01 |
→ Kesen eğimi 2’ye yaklaşır: x = 1’deki anlık değişim oranı 2
Türevin tanımı ve türevlenebilirlik
Türev: f′(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h (limit varsa)
Örnek: f(x) = x², f′(3) = ?
- [(3 + h)² − 9] / h = (6h + h²) / h = 6 + h → h → 0 iken f′(3) = 6
Genel olarak f(x) = x² için f′(x) = 2x; f(x) = x³ için f′(x) = 3x²
Türevlenebilirlik:
- Soldan türev = sağdan türev olmalıdır.
- Türevlenebilen fonksiyon süreklidir, ama sürekli her fonksiyon türevlenebilir değildir.
- f(x) = |x| fonksiyonu x = 0’da süreklidir; soldan türev −1, sağdan türev +1 → türevi yoktur (köşe noktası)
- Süreksiz olduğu noktada fonksiyonun türevi yoktur.
Türevin anlamı: hız, ivme ve teğet
Fizikte türev:
- Konum fonksiyonunun türevi hız: v(t) = s′(t)
- Hızın türevi ivme: a(t) = v′(t)
- s(t) = 5t² (metre) → v(t) = 10t → t = 2 s’de hız 20 m/s; ivme a = 10 m/s²
Diğer alanlar: Maliyetin üretim miktarına göre değişimi (marjinal maliyet), nüfus artış hızı, sıcaklığın değişim hızı
Teğet doğrusu: x = a noktasında y − f(a) = f′(a) · (x − a)
- f(x) = x², a = 1 → f(1) = 1, f′(1) = 2 → y = 2x − 1
Normal doğrusu: Teğete o noktada dik doğru → eğimi −1 / f′(a)
- Aynı örnekte normal: y − 1 = −(1/2)(x − 1)
💡 Türev, eğimin ve değişim hızının ortak dilidir: “Ne kadar hızlı değişiyor?” sorusunun cevabı.
Kavramlar
- kesen
- eğriyi iki noktada kesen doğru
- teğet
- eğriye bir noktada dokunan doğru
- türev
- anlık değişim oranı
- türevlenebilir
- türevi var olan
- normal doğrusu
- teğete dik doğru
- Ortalama değişim hızı = kesen eğimi
- Anlık değişim oranı = teğet eğimi = türev
- f′(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)] / h
- Türevlenebilen fonksiyon süreklidir; tersi her zaman doğru değil (|x|)
- Konumun türevi hız, hızın türevi ivme
- Teğet: y − f(a) = f′(a)(x − a); normal eğimi −1/f′(a)
Örnek soru ve çözümü
Grafikte y = x² eğrisi, A(1, 1) ve B(2, 4) noktalarından geçen kesen ve A’daki teğet gösterilmiştir. Kesenin ve teğetin eğimleri kaçtır?
Kesenin eğimi (4 − 1)/(2 − 1) = 3’tür. Teğetin eğimi f′(1)’dir: f′(x) = 2x olduğundan f′(1) = 2. Teğet denklemi y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1. B noktası A’ya yaklaştıkça kesenin eğimi 2’ye yaklaşır.
Çözümlü örnekler
1. f(x) = x² fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır? Kolay
Çözüm(9 − 1)/(3 − 1) = 4.
2. Türevin tanımını kullanarak f(x) = 3x + 2 için f′(x) bulunuz. Orta
Çözüm[3(x + h) + 2 − 3x − 2]/h = 3h/h = 3 → f′(x) = 3.
3. Bir topun yüksekliği h(t) = 20t − 5t² metredir. t = 1 s’deki anlık hızı ve topun en yükseğe çıktığı anı bulunuz. Zor
Çözümh′(t) = 20 − 10t → h′(1) = 10 m/s. En yüksek noktada hız sıfırdır: 20 − 10t = 0 → t = 2 s.
Sık yapılan hatalar
- Ortalama değişim hızını anlık değişim oranı sanmak.
- Sürekli her fonksiyonun türevlenebilir olduğunu düşünmek.
- Teğet denkleminde f(a) yerine f′(a) yazmak.
Biliyor muydun?
Türevi 17. yüzyılda Newton ve Leibniz birbirinden bağımsız geliştirdi; bugün kullandığımız dy/dx gösterimi Leibniz’e, f′ gösterimi ise Lagrange’a aittir!