Sabit fonksiyonun ve xⁿ’nin türevi; sabitle çarpım, toplam ve fark kuralları; çarpım kuralı (f · g)′ = f′g + fg′; bölüm kuralı (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²; bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı); köklü ifadelerin türevi; trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların temel türevleri; ikinci ve daha yüksek mertebeden türevler; teğet eğimi problemleri.
Temel kurallar
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Sabit | (c)′ = 0 | (7)′ = 0 |
| Kuvvet | (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ | (x⁵)′ = 5x⁴ |
| Sabitle çarpım | (c · f)′ = c · f′ | (4x³)′ = 12x² |
| Toplam / fark | (f ± g)′ = f′ ± g′ | (x² − 3x)′ = 2x − 3 |
Örnekler:
- (3x⁴ − 2x + 7)′ = 12x³ − 2
- (√x)′ = (x^(1/2))′ = (1/2) · x^(−1/2) = 1 / (2√x)
- (1/x²)′ = (x⁻²)′ = −2x⁻³ = −2 / x³
Yüksek mertebeden türev: f(x) = x⁴ − x² → f′(x) = 4x³ − 2x → f″(x) = 12x² − 2 → f‴(x) = 24x
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| c (sabit) | 0 |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1 / x |
Çarpım, bölüm ve zincir kuralı
Çarpım kuralı: (f · g)′ = f′ · g + f · g′
- [x² · (x + 1)]′ = 2x(x + 1) + x² · 1 = 3x² + 2x
Bölüm kuralı: (f / g)′ = (f′ · g − f · g′) / g² (g ≠ 0)
- [(x + 1)/(x − 1)]′ = [1 · (x − 1) − (x + 1) · 1] / (x − 1)² = −2 / (x − 1)²
Zincir kuralı (bileşke türevi): [f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x) → “Dıştakinin türevi × içtekinin türevi”
- [(2x + 1)⁵]′ = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴
- [√(x² + 9)]′ = 2x / (2√(x² + 9)) = x / √(x² + 9)
- (sin 3x)′ = 3 cos 3x · (e^(2x))′ = 2e^(2x) · [ln (x² + 1)]′ = 2x / (x² + 1)
Türev kurallarıyla problem çözme
Teğet eğimi: f(x) = x³ − 2x eğrisinin x = 2’deki teğet eğimi
- f′(x) = 3x² − 2 → f′(2) = 10; f(2) = 4 → teğet: y − 4 = 10(x − 2) → y = 10x − 16
Yatay teğet: Teğet x eksenine paralelse eğim 0’dır → f′(x) = 0
- f(x) = x² − 6x + 1 → f′(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3 → yatay teğet noktası (3, −8)
Bilinmeyen katsayı: f(x) = ax² + bx eğrisi (1, 5) noktasından geçiyor ve bu noktadaki teğet eğimi 8 ise
- a + b = 5 ve f′(1) = 2a + b = 8 → a = 3, b = 2
Bileşke uygulaması: f(x) = x² ve g(x) = 3x − 1 ise (f ∘ g)′(1) = f′(g(1)) · g′(1) = f′(2) · 3 = 4 · 3 = 12
Kavramlar
- kuvvet kuralı
- xⁿ’in türev kuralı
- çarpım kuralı
- iki fonksiyon çarpımının türevi
- zincir kuralı
- bileşke fonksiyonun türevi
- ikinci türev
- türevin türevi
- yatay teğet
- eğimi sıfır olan teğet
- (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹; sabitin türevi 0
- (f · g)′ = f′g + fg′
- (f / g)′ = (f′g − fg′) / g²
- Zincir: [f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
- (sin x)′ = cos x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x
- Yatay teğet: f′(x) = 0
Örnek soru ve çözümü
Tabloyu kullanarak f(x) = 4x³ − √x + sin x fonksiyonunun türevini bulunuz.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| c (sabit) | 0 |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1 / x |
Toplam ve sabitle çarpım kurallarıyla: f′(x) = 4 · 3x² − 1/(2√x) + cos x = 12x² − 1/(2√x) + cos x.
Çözümlü örnekler
1. f(x) = 2x⁵ − 3x² + x ise f′(x) nedir? Kolay
Çözüm10x⁴ − 6x + 1.
2. f(x) = (x² + 1)(x³ − 2) ise f′(1) kaçtır? Orta
Çözümf′ = 2x(x³ − 2) + (x² + 1)3x² → f′(1) = 2(−1) + 2 · 3 = 4.
3. f(x) = (x² − 3x)⁴ ise f′(2) kaçtır? Zor
Çözümf′ = 4(x² − 3x)³ · (2x − 3) → x = 2: 4 · (−2)³ · 1 = −32.
Sık yapılan hatalar
- Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak.
- Zincir kuralında içtekinin türevini çarpmayı unutmak.
- Bölüm kuralında paydaki çıkarma sırasını ters yazmak.
Biliyor muydun?
Leibniz’in dy/dx gösterimi zincir kuralını neredeyse kendiliğinden gösterir: dy/dx = (dy/du) · (du/dx); sanki du’lar sadeleşiyormuş gibi!