Logaritmanın tanımı (y = logₐ x ⇔ aʸ = x) ve üstel fonksiyonun tersi olarak logaritma fonksiyonu; taban ve tanım kümesi şartları; onluk logaritma (log x) ve doğal logaritma (ln x); logaritma fonksiyonunun grafiği ve özellikleri; logaritmanın özellikleri (çarpım, bölüm, üs, taban değiştirme kuralları); logaritmayla basamak sayısı bulma; gerçek hayatta logaritma: Richter ölçeği, pH, desibel; John Napier ve logaritmanın tarihi.
Logaritma fonksiyonu
Tanım: a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 olmak üzere y = logₐ x ⇔ aʸ = x
- log₂ 8 = 3 çünkü 2³ = 8 · log₃ (1/9) = −2 çünkü 3⁻² = 1/9
Logaritma, üstel fonksiyonun tersidir: y = aˣ ile y = logₐ x grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Özel değerler: logₐ 1 = 0 · logₐ a = 1 · a^(logₐ x) = x · logₐ aˣ = x
Özel tabanlar: log x = log₁₀ x (onluk logaritma) · ln x = logₑ x (doğal logaritma)
Grafik ve özellikler:
- Tanım kümesi (0, ∞), görüntü kümesi ℝ
- Grafik (1, 0) noktasından geçer; x = 0 (y ekseni) düşey asimptot
- a > 1 ise artan, 0 < a < 1 ise azalan
Tanım kümesi şartı: logₐ f(x) için f(x) > 0; taban değişkense taban > 0 ve taban ≠ 1
(log₍ₓ₋₁₎ (5 − x) için x − 1 > 0, x − 1 ≠ 1, 5 − x > 0 → 1 < x < 5, x ≠ 2)
Logaritmanın özellikleri
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpım | logₐ(x·y) = logₐ x + logₐ y | log 20 = log 2 + log 10 |
| Bölüm | logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y | log 5 = log 10 − log 2 |
| Üs | logₐ xⁿ = n · logₐ x | log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5 |
| Taban üssü | log₍ₐᵐ₎ bⁿ = (n/m) · logₐ b | log₄ 8 = log₍₂²₎ 2³ = 3/2 |
| Taban değiştirme | logₐ b = log b / log a | log₂ 7 = log 7 / log 2 |
| Ters tabanlar | logₐ b · log_b a = 1 | log₂ 3 · log₃ 2 = 1 |
Örnek: log 2 ≈ 0,301 ise
- log 8 = 3 · log 2 ≈ 0,903
- log 5 = log 10 − log 2 ≈ 1 − 0,301 = 0,699
- log 0,2 = log 2 − log 10 ≈ −0,699
Basamak sayısı: Pozitif bir A sayısında log A = k + ondalık kısım (k tam sayı) ise A k + 1 basamaklıdır.
2⁵⁰ → log 2⁵⁰ = 50 · 0,301 = 15,05 → 16 basamaklı
Gerçek hayatta logaritma
Logaritma, çok geniş aralıkta değişen büyüklükleri küçük ve anlaşılır sayılarla ifade eder.
- Deprem (Richter ölçeği): M = log (A / A₀) → Büyüklükteki 1 birimlik artış, sismograftaki genliğin 10 katına (açığa çıkan enerjinin yaklaşık 32 katına) karşılık gelir. 7 büyüklüğündeki deprem genlik olarak 5’likten 10² = 100 kat büyüktür.
- pH: pH = −log [H⁺] → [H⁺] = 10⁻³ ise pH = 3 (asidik); pH’ı 1 düşen çözelti 10 kat daha asidiktir.
- Ses şiddeti (desibel): L = 10 · log (I / I₀) → Ses şiddeti 10 katına çıkınca düzey 10 dB artar.
Tarih: İskoç matematikçi John Napier 1614’te logaritmayı tanıttı; büyük çarpma ve bölmeleri toplama ve çıkarmaya çevirerek astronomi ve denizcilik hesaplarını kolaylaştırdı. Hesap makinelerinden önce logaritma cetvelleri ve sürgülü hesap cetvelleri kullanıldı.
| Büyüklük (M) | Genlik (kat) | Etki |
|---|---|---|
| 3 | 10³ | Hissedilir, hasar yok |
| 5 | 10⁵ | Hafif hasar |
| 6 | 10⁶ | Zayıf yapılarda ciddi hasar |
| 7 | 10⁷ | Büyük deprem |
Kavramlar
- logaritma
- bir sayıyı elde etmek için tabanın alınacağı üs
- onluk logaritma
- tabanı 10 olan logaritma
- doğal logaritma
- tabanı e olan logaritma (ln)
- düşey asimptot
- grafiğin yaklaştığı dikey doğru
- logaritmik ölçek
- her birimi 10 kat değişime karşılık gelen ölçek
- y = logₐ x ⇔ aʸ = x; a > 0, a ≠ 1, x > 0
- Logaritma üstel fonksiyonun tersidir; grafikler y = x’e göre simetrik
- logₐ 1 = 0, logₐ a = 1; grafik (1, 0)’dan geçer
- Çarpım → toplam, bölüm → fark, üs → katsayı
- Taban değiştirme: logₐ b = log b / log a
- Richter, pH ve desibel logaritmik ölçeklerdir
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre y = log₂ x fonksiyonu hangi noktalardan geçer? log₂ 4 değerini tanımla doğrulayınız ve y = log₁/₂ x ile ilişkisini açıklayınız.
Grafik (1, 0) ve (4, 2) noktalarından geçer. log₂ 4 = 2 çünkü 2² = 4. y = log₁/₂ x = −log₂ x olduğundan iki grafik x eksenine göre simetriktir; biri artan, diğeri azalandır.
Çözümlü örnekler
1. log₅ 125 kaçtır? Kolay
Çözüm5³ = 125 olduğundan 3.
2. log 2 = 0,301 ve log 3 = 0,477 ise log 12 kaçtır? Orta
Çözümlog 12 = log (4 · 3) = 2 log 2 + log 3 = 0,602 + 0,477 = 1,079.
3. f(x) = log₍ₓ₋₂₎ (8 − x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. Zor
ÇözümTaban için x − 2 > 0 ve x − 2 ≠ 1 → x > 2, x ≠ 3. Logaritması alınan için 8 − x > 0 → x < 8. Tanım kümesi: (2, 8) − {3}.
Sık yapılan hatalar
- log(x + y) = log x + log y sanmak (çarpımda geçerlidir).
- Tanım kümesinde logaritması alınan ifadenin pozitifliğini kontrol etmemek.
- Tabanın 1 olabileceğini düşünmek.
Biliyor muydun?
Logaritma cetvelleri yaklaşık 350 yıl boyunca bilim insanlarının en önemli hesap aracıydı; Ay’a giden Apollo astronotları da yanlarında sürgülü hesap cetveli taşıyordu!