Üstel denklemler: tabanları eşitleme, değişken değiştirme, logaritma alma; logaritmik denklemler: tanımdan üstel biçime geçme, logaritma özellikleriyle tek logaritmada toplama, değişken değiştirme ve tanım kümesi kontrolü; üstel ve logaritmik eşitsizlikler (taban 1’den büyükse eşitsizlik yönünün korunması, 0 ile 1 arasında ise değişmesi; tanım kümesiyle kesiştirme); faiz, nüfus ve yarı ömür problemlerinde süre bulma.
Üstel denklemler
1. Tabanları eşitleme: a^f(x) = a^g(x) ise f(x) = g(x)
- 4ˣ = 8 → 2²ˣ = 2³ → x = 3/2
- 9ˣ⁺¹ = 27 → 3²ˣ⁺² = 3³ → 2x + 2 = 3 → x = 1/2
- aᶠ⁽ˣ⁾ = bᶠ⁽ˣ⁾ (a ≠ b) ise f(x) = 0 → 2ˣ⁻³ = 5ˣ⁻³ → x = 3
2. Değişken değiştirme: 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0
- 2ˣ = t (t > 0) → t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0
- t = −1 olamaz (2ˣ > 0), t = 4 → 2ˣ = 4 → x = 2
3. Logaritma alma: Tabanlar eşitlenemiyorsa iki tarafın logaritması alınır.
- 3ˣ = 7 → x = log₃ 7 = log 7 / log 3 ≈ 0,845 / 0,477 ≈ 1,77
Logaritmik denklemler
Temel adım: logₐ f(x) = b ⇒ f(x) = aᵇ
- log₂ (x − 1) = 3 → x − 1 = 8 → x = 9
Özelliklerle tek logaritmada toplama:
- log x + log (x − 3) = 1 → log [x(x − 3)] = 1 → x² − 3x = 10 → x² − 3x − 10 = 0 → x = 5 veya x = −2
- Tanım kümesi kontrolü: x = −2 için log (−2) tanımsız → Ç = {5}
Değişken değiştirme: (log x)² − 3 log x + 2 = 0 → log x = t → t² − 3t + 2 = 0 → t = 1 veya 2 → x = 10 veya x = 100
Logaritmaların eşitliği: logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇒ f(x) = g(x) (ve ikisi de pozitif)
- log₃ (2x + 1) = log₃ (x + 4) → x = 3 (2 · 3 + 1 = 7 > 0 ✓)
⚠️ Logaritmik denklemlerde bulunan her kök mutlaka tanım kümesinde denetlenmelidir.
Eşitsizlikler ve süre problemleri
Kural: Taban a > 1 ise eşitsizlik yönü korunur; 0 < a < 1 ise yön değişir.
| Eşitsizlik | Çözüm |
|---|---|
| 2ˣ⁻¹ > 8 | 2ˣ⁻¹ > 2³ → x − 1 > 3 → x > 4 |
| (1/3)ˣ ≥ 9 | (1/3)ˣ ≥ (1/3)⁻² → yön değişir → x ≤ −2 |
| log₂ (x − 3) < 2 | 0 < x − 3 < 4 → 3 < x < 7 |
| log₁/₂ x > −1 | 0 < x < (1/2)⁻¹ → 0 < x < 2 |
Süre bulma: Yıllık %20 bileşik faizle para kaç yılda iki katına çıkar?
- 1,2ᵗ ≥ 2 → t ≥ log 2 / log 1,2 ≈ 0,301 / 0,079 ≈ 3,8 → 4 yıl
Yarı ömür: N = N₀ (1/2)^(t/T) → N/N₀ = 1/8 ise t/T = 3 → t = 3T
Kavramlar
- üstel denklem
- bilinmeyenin üste olduğu denklem
- logaritmik denklem
- bilinmeyenin logaritma içinde olduğu denklem
- değişken değiştirme
- ifadeyi yeni bir harfle göstererek sadeleştirme
- tanım kümesi kontrolü
- kökün ifadeyi tanımlı yapıp yapmadığını denetleme
- çözüm kümesi
- denklemi sağlayan değerler
- Tabanları eşitle: aᶠ = aᵍ ⇒ f = g
- aˣ = t dönüşümünde t > 0 şartı
- Eşitlenemeyen tabanlarda logaritma al
- logₐ f(x) = b ⇒ f(x) = aᵇ; kökleri tanım kümesinde denetle
- a > 1 yön korunur, 0 < a < 1 yön değişir
- Süre problemlerinde t = log (oran) / log (çarpan)
Örnek soru ve çözümü
Kartlara göre (1/2)ˣ⁺¹ < 1/16 eşitsizliğini çözünüz.
1/16 = (1/2)⁴ → (1/2)ˣ⁺¹ < (1/2)⁴. Taban 0 ile 1 arasında olduğundan eşitsizliğin yönü değişir: x + 1 > 4 → x > 3.
Çözümlü örnekler
1. 5ˣ⁻² = 125 denklemini çözünüz. Kolay
Çözüm5ˣ⁻² = 5³ → x − 2 = 3 → x = 5.
2. log₃ (x + 2) + log₃ (x − 4) = 3 denklemini çözünüz. Orta
Çözümlog₃ [(x + 2)(x − 4)] = 3 → x² − 2x − 8 = 27 → x² − 2x − 35 = 0 → x = 7 veya x = −5. x = −5 için x − 4 < 0 olduğundan Ç = {7}.
3. 9ˣ − 10 · 3ˣ + 9 = 0 denklemini çözünüz. Zor
Çözüm3ˣ = t → t² − 10t + 9 = 0 → t = 1 veya t = 9 → 3ˣ = 1 ise x = 0, 3ˣ = 9 ise x = 2. Ç = {0, 2}.
Sık yapılan hatalar
- Tabanı 0 ile 1 arasında olan eşitsizlikte yönü değiştirmeyi unutmak.
- Logaritmik denklemlerde tanım kümesine uymayan kökü kabul etmek.
- aˣ = t dönüşümünde negatif t değerini kabul etmek.
Biliyor muydun?
Kural 72 olarak bilinen pratik yönteme göre yıllık %r faizle para yaklaşık 72/r yılda ikiye katlanır: %20 için 72/20 = 3,6 yıl, logaritmayla bulunan 3,8 yıla oldukça yakın!