İki açının toplamının ve farkının sinüs, kosinüs ve tanjantı; formüllerin birim çember ve uzaklık formülüyle elde edilişi; 15°, 75°, 105° gibi açıların trigonometrik değerleri; iki kat açı formülleri (sin 2a, cos 2a’nın üç biçimi, tan 2a); yarım açı ilişkileri (cos²a = (1 + cos 2a)/2); dik üçgen bilgisiyle formül uygulamaları ve trigonometrik ifadeleri sadeleştirme.
Toplam ve fark formülleri
Formüller:
- sin (a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b
- sin (a − b) = sin a · cos b − cos a · sin b
- cos (a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b
- cos (a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b
- tan (a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a · tan b)
⚠️ sin (a + b) ≠ sin a + sin b! (sin 90° = 1 ama sin 45° + sin 45° = √2)
Özel açılar:
- sin 75° = sin (45° + 30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 ≈ 0,966
- cos 15° = cos (45° − 30°) = (√6 + √2)/4
- sin 15° = sin (45° − 30°) = (√6 − √2)/4
- tan 15° = tan (45° − 30°) = (1 − √3/3)/(1 + √3/3) = 2 − √3
- cos 105° = cos (60° + 45°) = (√2 − √6)/4
| Formül | Açılım |
|---|---|
| sin (a ± b) | sin a · cos b ± cos a · sin b |
| cos (a ± b) | cos a · cos b ∓ sin a · sin b |
| tan (a ± b) | (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a · tan b) |
| sin 2a | 2 sin a · cos a |
| cos 2a | cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a |
| tan 2a | 2 tan a / (1 − tan²a) |
İki kat açı formülleri
a = b alınırsa toplam formüllerinden elde edilir:
- sin 2a = 2 sin a · cos a
- cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
- tan 2a = 2 tan a / (1 − tan²a)
Yarım açı ilişkileri: cos²a = (1 + cos 2a)/2 · sin²a = (1 − cos 2a)/2
- cos² 15° = (1 + cos 30°)/2 = (2 + √3)/4
Dik üçgenle uygulama: Dar açı a için sin a = 3/5 ise (3-4-5 üçgeni)
- cos a = 4/5, tan a = 3/4
- sin 2a = 2 · (3/5)(4/5) = 24/25
- cos 2a = (4/5)² − (3/5)² = 7/25
- tan 2a = 2(3/4) / (1 − 9/16) = (3/2)/(7/16) = 24/7 (kontrol: 24/25 ÷ 7/25 ✓)
Sadeleştirme ve ispat
Sadeleştirme örnekleri:
- sin 50° cos 10° + cos 50° sin 10° = sin (50° + 10°) = sin 60° = √3/2
- cos² 22,5° − sin² 22,5° = cos 45° = √2/2
- 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2
- (1 − cos 2x)/sin 2x = 2sin²x / (2 sin x cos x) = tan x
Özdeşlik ispatı: (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x
- Sol taraf: sin²x + 2 sin x cos x + cos²x = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x ✓
Uygulama – üç kat açı: sin 3a = sin (2a + a) = sin 2a cos a + cos 2a sin a = 3 sin a − 4 sin³a
💡 Formülleri ezberlemek yerine cos (a − b) formülünden ve sin x = cos (90° − x) ilişkisinden diğerlerini türetebilirsin.
Kavramlar
- toplam formülü
- iki açının toplamının trigonometrik değeri
- iki kat açı
- 2a açısı
- yarım açı
- a/2 açısı
- özdeşlik
- her değer için doğru eşitlik
- sadeleştirme
- ifadeyi en basit hâline getirme
- sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
- cos (a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
- tan (a ± b) = (tan a ± tan b)/(1 ∓ tan a tan b)
- sin 2a = 2 sin a cos a
- cos 2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a
- sin (a + b) ≠ sin a + sin b
Örnek soru ve çözümü
Şekildeki dik üçgende a açısı için sin 2a ve cos 2a değerlerini bulunuz.
Kenarlar 3, 4, 5 olduğundan sin a = 3/5, cos a = 4/5. sin 2a = 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25. cos 2a = cos²a − sin²a = 16/25 − 9/25 = 7/25.
Çözümlü örnekler
1. sin 20° cos 10° + cos 20° sin 10° kaçtır? Kolay
Çözümsin 30° = 1/2.
2. tan a = 2 ve tan b = 3 ise tan (a + b) kaçtır? Orta
Çözüm(2 + 3)/(1 − 6) = 5/(−5) = −1.
3. cos a = −3/5 ve a ikinci bölgede ise sin 2a kaçtır? Zor
Çözümİkinci bölgede sin a > 0 → sin a = 4/5. sin 2a = 2 · (4/5) · (−3/5) = −24/25.
Sık yapılan hatalar
- sin (a + b)’yi sin a + sin b sanmak.
- cos (a + b) formülünde işareti + yazmak.
- Bölge bilgisini dikkate almadan sin ve cos işaretini belirlemek.
Biliyor muydun?
Toplam formülleri Hipparkos ve Batlamyus’tan beri astronomide kullanıldı; Batlamyus kiriş tablolarını hazırlarken bugünkü sin (a − b) formülüne denk bir ilişkiden yararlandı!