Geometrik dizinin tanımı ve ortak oranı; genel terim formülü ve iki terim arasındaki ilişki; orta terim (geometrik ortalama) özelliği; geometrik dizinin ilk n terim toplamı; satranç tahtası problemi; |r| < 1 iken terimlerin sıfıra yaklaşması; aritmetik ve geometrik dizilerin karşılaştırılması; maaş artışı, zıplayan top, ilaç dozu, nüfus gibi gerçek hayat problemlerinin dizilerle modellenmesi.
Geometrik dizi
Geometrik dizi: Ardışık iki terimin oranı sabit olan dizi → aₙ₊₁ / aₙ = r (ortak oran)
Genel terim: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ · iki terim arasında: aₙ = aₖ · rⁿ⁻ᵏ
Orta terim: aₖ² = aₖ₋ₚ · aₖ₊ₚ → pozitif terimlerde orta terim geometrik ortalamadır.
Örnekler:
- 3, 6, 12, 24, … → r = 2
- 81, 27, 9, 3, … → r = 1/3 (azalan)
- 2, −6, 18, −54, … → r = −3 (işaret değiştirir)
İki terimden diziyi bulma: a₂ = 6, a₅ = 48 ise
- a₅ / a₂ = r³ = 8 → r = 2, a₁ = 6 / 2 = 3
- a₁₀ = 3 · 2⁹ = 3 · 512 = 1536
Orta terim örneği: 4, x, 36 geometrik dizi ise x² = 4 · 36 = 144 → x = ±12
| Aritmetik dizi | Geometrik dizi | |
|---|---|---|
| Tanım | aₙ₊₁ − aₙ = d (sabit fark) | aₙ₊₁ / aₙ = r (sabit oran) |
| Genel terim | aₙ = a₁ + (n − 1)d | aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ |
| Orta terim | aₖ = (aₖ₋ₚ + aₖ₊ₚ) / 2 | aₖ² = aₖ₋ₚ · aₖ₊ₚ |
| İlk n terim toplamı | Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 | Sₙ = a₁(rⁿ − 1) / (r − 1) |
Geometrik dizinin toplamı
İlk n terim toplamı (r ≠ 1): Sₙ = a₁ · (rⁿ − 1) / (r − 1)
- 3 + 6 + 12 + … (6 terim) → S₆ = 3 · (2⁶ − 1) / (2 − 1) = 3 · 63 = 189
- r = 1 ise bütün terimler eşittir: Sₙ = n · a₁
Satranç tahtası efsanesi: Birinci kareye 1, ikinciye 2, üçüncüye 4 buğday… 64 karede toplam
- 1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1 ≈ 1,8 · 10¹⁹ tane buğday → Dünyadaki yıllık buğday üretiminin yüzlerce katı!
|r| < 1 iken: Terimler giderek sıfıra yaklaşır, toplam bir sayıya yaklaşır.
- 1/2 + 1/4 + 1/8 + … → toplam 1’e yaklaşır (bir pastanın her seferinde kalanın yarısını yemek gibi)
💡 Bu sonsuz toplam a₁ / (1 − r) ile bulunur: (1/2) / (1 − 1/2) = 1.
Dizilerle modelleme
Maaş karşılaştırması: Başlangıç maaşı 20 bin TL olan iki teklif
- A: Her yıl 2 bin TL artış → aritmetik dizi: aₙ = 20 + (n − 1) · 2
- B: Her yıl %8 artış → geometrik dizi: bₙ = 20 · 1,08ⁿ⁻¹
- 10. yılda: A = 20 + 18 = 38 bin TL, B = 20 · 1,08⁹ ≈ 39,98 bin TL
→ İlk yıllarda A önde gider, uzun vadede geometrik artış öne geçer.
Zıplayan top: 2 m’den bırakılan top her zıplamada önceki yüksekliğin 3/4’üne çıkıyor.
- Yükseklikler: 1,5 · 1,125 · 0,84 · … → 4. zıplamadan sonra 2 · (3/4)⁴ = 2 · 81/256 ≈ 0,63 m
Aritmetik mi geometrik mi? Sabit miktar ekleniyorsa aritmetik, sabit oranla çarpılıyorsa geometrik dizi modelini kullan.
Kavramlar
- geometrik dizi
- ardışık terim oranı sabit dizi
- ortak oran
- geometrik dizide ardışık terim oranı
- geometrik ortalama
- iki sayının çarpımının karekökü
- modelleme
- gerçek durumu matematikle ifade etme
- sonsuz toplam
- terim sayısı arttıkça yaklaşılan değer
- Geometrik dizi: aₙ₊₁ / aₙ = r
- aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹; aₙ = aₖ · rⁿ⁻ᵏ
- Orta terim: aₖ² = aₖ₋ₚ · aₖ₊ₚ
- Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1), r ≠ 1
- |r| < 1 ise terimler sıfıra yaklaşır
- Sabit miktar → aritmetik; sabit oran → geometrik
Örnek soru ve çözümü
Grafiğe göre A (her yıl +2 bin TL) ve B (her yıl %8) maaş teklifleri arasında ilk yıllarda ve 10. yılda hangisi daha yüksektir? Nedenini dizilerle açıklayınız.
İlk yıllarda A önde gider: 2. yılda A = 22, B = 21,6 bin TL. Ancak B geometrik dizidir ve her yıl artış miktarı büyür; 10. yılda A = 38 bin, B ≈ 39,98 bin TL olur. Sabit oranla büyüme, sabit miktarla büyümeyi uzun vadede geçer.
Çözümlü örnekler
1. 5, 15, 45, … geometrik dizisinin 5. terimi kaçtır? Kolay
Çözümr = 3 → a₅ = 5 · 3⁴ = 405.
2. Geometrik dizide a₃ = 12 ve a₆ = 96 ise a₁ kaçtır? Orta
Çözümr³ = 96 / 12 = 8 → r = 2; a₁ = 12 / 2² = 3.
3. 2 + 6 + 18 + … toplamının kaç teriminin toplamı 728’dir? Zor
Çözüma₁ = 2, r = 3 → 2(3ⁿ − 1)/2 = 3ⁿ − 1 = 728 → 3ⁿ = 729 = 3⁶ → n = 6.
Sık yapılan hatalar
- Geometrik dizide ortak oranı fark gibi hesaplamak.
- Sₙ formülünde r = 1 durumunu unutmak.
- Orta terimde negatif kökü göz ardı etmek (x² = 144 → ±12).
Biliyor muydun?
Satranç tahtası efsanesinde padişahtan buğday isteyen bilgenin talebi 2⁶⁴ − 1 tane buğdaydı; bu sayı yaklaşık 18 kentilyondur ve bütün dünyanın yüzyıllarca ürettiği buğdaydan fazladır!