Eşitlik ve terazi modeli, eşitliğin korunumu, toplama ve çarpmanın değişme, birleşme ve dağılma özellikleri.
Eşitlik ve terazi
“=” işareti, iki tarafın aynı değerde olduğunu söyler. 8 + 4 = 12 ve 8 + 4 = 10 + 2 eşitliklerin ikisi de doğrudur.
Eşitliği eşit kollu bir terazi gibi düşünebiliriz: İki kefede aynı ağırlık varsa terazi dengededir.
Eşitliğin korunumu: Dengedeki bir teraziye
- iki kefeye de aynı ağırlık eklenirse ya da çıkarılırsa,
- iki kefedeki ağırlıklar aynı sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse
denge bozulmaz.
Bilinmeyeni bulmak
Eşitliğin korunumunu kullanarak bilinmeyen sayıları bulabiliriz:
- □ + 7 = 15 → İki taraftan 7 çıkar: □ = 8
- □ × 6 = 42 → İki tarafı 6’ya böl: □ = 7
- 25 − □ = 9 → 25’ten kaç çıkınca 9 kalır? □ = 16
💡 Bulduğun sayıyı yerine koyarak kontrol et: 8 + 7 = 15 ✓
Toplama ve çarpmanın özellikleri
| Özellik | Toplamada | Çarpmada |
|---|---|---|
| Değişme | 3 + 9 = 9 + 3 | 4 × 7 = 7 × 4 |
| Birleşme | (2 + 5) + 8 = 2 + (5 + 8) | (2 × 5) × 7 = 2 × (5 × 7) |
| Etkisiz eleman | 0: 6 + 0 = 6 | 1: 6 × 1 = 6 |
- Çarpmada yutan eleman 0’dır: 9 × 0 = 0.
- Çıkarma ve bölmede değişme özelliği yoktur: 9 − 3 ≠ 3 − 9, 12 ÷ 4 ≠ 4 ÷ 12.
Bu özellikler zihinden işlemi kolaylaştırır: 25 × 17 × 4 = (25 × 4) × 17 = 100 × 17 = 1 700.
Dağılma özelliği
Çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği:
a × (b + c) = a × b + a × c
- 6 × (10 + 3) = 60 + 18 = 78, yani 6 × 13 = 78.
- 8 × 99 = 8 × (100 − 1) = 800 − 8 = 792
Bunu bir dikdörtgenin alanıyla da görebiliriz: 6 × 13’lük dikdörtgeni 6 × 10 ve 6 × 3’lük iki dikdörtgene ayırırız.
Kavramlar
- Eşitlik
- İki ifadenin aynı değerde olduğunu gösteren matematiksel cümle.
- Değişme özelliği
- Sayıların yer değiştirmesinin sonucu değiştirmemesi.
- Birleşme özelliği
- Gruplamanın değişmesinin sonucu değiştirmemesi.
- Dağılma özelliği
- Çarpmanın toplama/çıkarma üzerine dağıtılması.
- “=” iki tarafın eşit değerde olduğunu söyler
- İki tarafa aynı işlem yapılırsa eşitlik korunur
- Değişme ve birleşme: toplama ve çarpmada var
- Çıkarma ve bölmede değişme özelliği yok
- Etkisiz eleman: toplamada 0, çarpmada 1
- a × (b + c) = a × b + a × c
Örnek soru ve çözümü
□ × 4 + 6 = 34 eşitliğinde □ yerine hangi sayı gelmelidir?
İki taraftan 6 çıkar: □ × 4 = 28. İki tarafı 4’e böl: □ = 7. Kontrol: 7 × 4 + 6 = 34 ✓
Çözümlü örnekler
1. 17 + 45 + 3 işlemini zihinden kolay yoldan yapınız. Kolay
ÇözümDeğişme ve birleşme: (17 + 3) + 45 = 20 + 45 = 65.
2. 7 × 102 işlemini dağılma özelliğiyle yapınız. Orta
Çözüm7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714.
3. Dengedeki bir terazinin bir kefesinde 3 özdeş kutu ve 5 kg, diğerinde 20 kg vardır. Bir kutu kaç kg’dır? Zor
Çözüm3 kutu + 5 = 20 → iki taraftan 5 çıkar: 3 kutu = 15 → bir kutu 5 kg.
Sık yapılan hatalar
- Eşitliğin yalnızca bir tarafına işlem yapmak.
- Çıkarmada değişme özelliği olduğunu sanmak.
- Dağılmada yalnızca ilk terimi çarpmak: 6 × (10 + 3) ≠ 60 + 3.
Biliyor muydun?
“=” işaretini 1557’de Galli matematikçi Robert Recorde icat etti. Gerekçesi: “Hiçbir şey iki paralel çizgiden daha eşit olamaz.”