Asal ve bileşik sayılar, Eratosthenes eleği, aralarında asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma.
Asal sayı nedir?
1’den ve kendisinden başka çarpanı olmayan, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … asal sayılardır.
- 2 tek çift asal sayıdır. Diğer bütün çift sayılar 2’ye bölündüğü için asal değildir.
- 1 asal sayı değildir; çünkü tek bir çarpanı vardır.
- Asal olmayan, 1’den büyük doğal sayılara bileşik sayı denir: 4, 6, 8, 9, 10, …
Eratosthenes eleği
1’den 50’ye kadar olan asal sayıları bulmak için antik çağlardan kalma bir yöntem:
- 1’i sil (asal değil).
- 2’yi daire içine al; 2’nin bütün diğer katlarını sil.
- Silinmemiş ilk sayı 3; daire içine al, 3’ün diğer katlarını sil.
- 5 ve 7 için aynısını yap.
- Kalan sayılar asaldır.
1–50 arasındaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (15 tane).
Asal çarpanlara ayırma
Her bileşik sayı asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabilir. Buna asal çarpanlara ayırma denir.
Bölen yöntemiyle 60:
| 60 | 2 |
|---|---|
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Çarpan ağacıyla: 60 → 6 × 10 → (2 × 3) × (2 × 5). Hangi yoldan gidersen git, sonuç aynı asal çarpanlardır.
60’ın asal çarpanları: 2, 3 ve 5.
Aralarında asal sayılar
1’den başka ortak çarpanı olmayan iki sayıya aralarında asal denir.
- 8 ve 15: 8’in çarpanları 1, 2, 4, 8; 15’in çarpanları 1, 3, 5, 15 → ortak çarpan yalnızca 1 → aralarında asal
- 8 ve 12 → ortak çarpan 2 ve 4 de var → aralarında asal değil
⚠️ Aralarında asal olmak için sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: 8 ile 15’in ikisi de bileşiktir ama aralarında asaldır. Ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır.
Kavramlar
- Asal sayı
- 1 ve kendisinden başka çarpanı olmayan, 1’den büyük doğal sayı.
- Bileşik sayı
- Asal olmayan, 1’den büyük doğal sayı.
- Asal çarpan
- Bir sayının asal olan çarpanı.
- Aralarında asal
- Ortak çarpanı yalnızca 1 olan sayılar.
- Asal: yalnızca 1 ve kendisine bölünen, 1’den büyük sayı
- 2 tek çift asal sayıdır, 1 asal değildir
- 1–50 arası 15 asal sayı vardır
- Her bileşik sayı asal çarpanlara tek şekilde ayrılır
- 60 = 2² × 3 × 5
- Aralarında asal: ortak çarpanı yalnızca 1
Örnek soru ve çözümü
84 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1. 84 = 2² × 3 × 7.
Çözümlü örnekler
1. 29 asal sayı mıdır? Kolay
Çözüm2, 3, 5 ile bölünmez ve 5 × 5 = 25, 6 × 6 = 36 olduğundan 5’ten büyük asallara bakmaya gerek yok. 29 asaldır.
2. 12 ile 35 aralarında asal mıdır? Orta
Çözüm12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 35: 1, 5, 7, 35. Ortak çarpan yalnızca 1 → aralarında asaldır.
3. Asal çarpanları tam olarak 2 ve 5 olan (ikisi de bulunan, başka asal çarpanı olmayan) 50 ile 100 arasındaki sayıları bulunuz (50 ve 100 dahil). Zor
ÇözümSayılar 2ᵃ × 5ᵇ biçiminde ve a, b en az 1 olmalı: 2 × 5² = 50, 2⁴ × 5 = 80, 2² × 5² = 100. (64 = 2⁶ olduğu için 5 çarpanı yoktur, sayılmaz.) Yanıt: 50, 80, 100.
Sık yapılan hatalar
- 1’i asal sayı saymak.
- Bütün tek sayıları asal sanmak (9, 15, 21 asal değildir).
- Asal çarpanlara ayırırken bileşik bir çarpanı (6 gibi) bırakmak.
Biliyor muydun?
Bilinen en büyük asal sayı 41 milyondan fazla basamaktan oluşuyor! Bu sayıyı yazmak için binlerce kitap sayfası gerekir. Bilgisayarlar hâlâ daha büyüklerini arıyor.