Ortak katlar ve en küçük ortak kat; ortak bölenler ve en büyük ortak bölen; problemler.
Ortak kat ve EKOK
İki ya da daha çok sayının ortak katlarının en küçüğüne (0 hariç) en küçük ortak kat (EKOK) denir.
4 ve 6:
- 4’ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
- 6’nın katları: 6, 12, 18, 24, …
- Ortak katlar: 12, 24, 36, … → EKOK(4, 6) = 12
EKOK ne zaman? “Birlikte yeniden ne zaman?”, “En az kaç?” sorularında: iki otobüsün aynı anda kalkması, iki ışığın birlikte yanması gibi.
Ortak bölen ve EBOB
İki ya da daha çok sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) denir.
12 ve 18:
- 12’nin bölenleri: 1, 2, 3, 6, 4, 12
- 18’in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6 → EBOB(12, 18) = 6
EBOB ne zaman? “En büyük eş parça”, “hiç artmadan eşit paylaştırma” sorularında: kumaşları en uzun eş parçalara kesmek, bir bahçeyi en büyük eş karelere bölmek gibi.
Asal çarpanlarla bulmak
Sayılar büyüdükçe listeleme zorlaşır; asal çarpanlar işi kolaylaştırır.
24 = 2³ × 3 ve 36 = 2² × 3²
- EBOB: Ortak asal çarpanların en küçük üsleri: 2² × 3 = 12
- EKOK: Bütün asal çarpanların en büyük üsleri: 2³ × 3² = 72
💡 İki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımıdır: 12 × 72 = 864 = 24 × 36 ✓
EBOB mu, EKOK mu?
| Soru ipucu | Kullan |
|---|---|
| “En az”, “birlikte ilk kez”, “aynı anda yeniden” | EKOK |
| “En büyük eş parça”, “en az sayıda eş parça”, “artmadan bölmek” | EBOB |
Örnek (EKOK): Bir otobüs 15 dakikada, diğeri 20 dakikada bir kalkıyor. Saat 08.00’de birlikte kalktılarsa yeniden ne zaman birlikte kalkarlar? EKOK(15, 20) = 60 → 09.00.
Örnek (EBOB): 48 m ve 60 m’lik iki kumaş hiç artmadan en uzun eş parçalara kesilecek. EBOB(48, 60) = 12 → her parça 12 m, toplam 4 + 5 = 9 parça.
Kavramlar
- Ortak kat
- İki ya da daha çok sayının her birinin katı olan sayı.
- EKOK
- En küçük ortak kat.
- Ortak bölen
- İki ya da daha çok sayının her birini bölen sayı.
- EBOB
- En büyük ortak bölen.
- EKOK: ortak katların en küçüğü
- EBOB: ortak bölenlerin en büyüğü
- EBOB: ortak asalların küçük üsleri
- EKOK: bütün asalların büyük üsleri
- EBOB × EKOK = sayıların çarpımı
- “Birlikte yeniden” → EKOK · “en büyük eş parça” → EBOB
Örnek soru ve çözümü
Bir öğretmen 36 kalem ve 54 defteri hiç artmadan, her öğrenciye eşit sayıda kalem ve eşit sayıda defter verecek şekilde en çok kaç öğrenciye dağıtabilir?
EBOB(36, 54) = 18. En çok 18 öğrenciye; her birine 2 kalem ve 3 defter düşer.
Çözümlü örnekler
1. EKOK(6, 8) kaçtır? Kolay
Çözüm6’nın katları 6, 12, 18, 24; 8’in katları 8, 16, 24 → 24.
2. Bir ışık 6 saniyede, diğeri 9 saniyede bir yanıyor. İkisi birlikte yandıktan kaç saniye sonra yeniden birlikte yanarlar? Orta
ÇözümEKOK(6, 9) = 18 saniye.
3. Kenarları 24 m ve 40 m olan dikdörtgen bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak şekilde en büyük eş karelere bölünecek. Kaç kare elde edilir? Zor
ÇözümEBOB(24, 40) = 8 m. Karelerin sayısı: (24 ÷ 8) × (40 ÷ 8) = 3 × 5 = 15 kare.
Sık yapılan hatalar
- “Birlikte yeniden” sorularında EBOB kullanmak.
- EKOK’u bulurken 0’ı ortak kat olarak almak.
- Asal çarpan yönteminde EBOB için büyük üsleri almak.
Biliyor muydun?
Ağustos böceklerinin bazı türleri 13 ya da 17 yılda bir topraktan çıkar. Bu sayılar asal olduğu için avcılarının yaşam döngüleriyle nadiren çakışırlar; EKOK’ları çok büyüktür!