Dörtgenlerin kenar, açı ve köşegen özellikleri; iç açılar toplamı 360°; dörtgenler arası ilişkiler.
Dörtgenin iç açıları
Bir dörtgeni bir köşegeniyle iki üçgene ayırabiliriz. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için:
Dörtgenin iç açıları toplamı = 2 × 180° = 360°
Örnek: Üç açısı 80°, 95° ve 105° olan dörtgenin dördüncü açısı: 360 − 280 = 80°.
Özel dörtgenler
| Dörtgen | Kenarlar | Açılar | Köşegenler |
|---|---|---|---|
| Yamuk | Bir çift kenar paralel | — | — |
| Paralelkenar | Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit | Karşılıklı açılar eşit, komşu açılar bütünler | Birbirini ortalar |
| Eşkenar dörtgen | Dört kenarı eşit, karşılıklı paralel | Karşılıklı açılar eşit | Birbirini dik keser ve ortalar |
| Dikdörtgen | Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel | Dört açısı da 90° | Eşit uzunlukta, birbirini ortalar |
| Kare | Dört kenarı eşit | Dört açısı da 90° | Eşit, dik keser, ortalar |
Dörtgen ailesi
Dörtgenler birbirinin “özel hâli” olabilir:
- Her kare bir dikdörtgendir (açıları 90°), bir eşkenar dörtgendir (kenarları eşit), bir paralelkenardır.
- Her dikdörtgen bir paralelkenardır; ama her paralelkenar dikdörtgen değildir.
- Her eşkenar dörtgen bir paralelkenardır.
💡 Kare, dörtgen ailesinin “en özel” üyesidir; bütün özelliklere sahiptir.
⚠️ Ters yönde dikkat: Her dikdörtgen kare değildir; kenarları eşit olmayabilir.
Problemler
Örnek 1: Bir paralelkenarın bir açısı 70° ise diğer açıları: karşısındaki 70°, komşuları 110° → 70°, 110°, 70°, 110°.
Örnek 2: Bir eşkenar dörtgenin çevresi 36 cm ise bir kenarı 36 ÷ 4 = 9 cm.
Örnek 3: Bir yamuğun paralel kenarlarına komşu iki açısı 75° ve x ise (aynı kenar üzerinde, paraleller arasında) karşı durumlu açılar bütünler olduğundan x = 105°.
Kavramlar
- Yamuk
- Yalnızca bir çift kenarı paralel dörtgen.
- Paralelkenar
- Karşılıklı kenarları paralel dörtgen.
- Eşkenar dörtgen
- Dört kenarı eşit dörtgen.
- Köşegen
- Karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçası.
- Dörtgenin iç açıları toplamı 360°
- Paralelkenarda karşılıklı kenar ve açılar eşit
- Komşu açılar bütünler
- Eşkenar dörtgende köşegenler dik
- Dikdörtgende köşegenler eşit
- Her kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir
Örnek soru ve çözümü
Bir paralelkenarın komşu iki açısından biri diğerinin 2 katıdır. Açıları bulunuz.
Komşu açılar bütünler: x + 2x = 180 → x = 60. Açılar 60°, 120°, 60°, 120°.
Çözümlü örnekler
1. Bir dörtgenin açıları 90°, 90°, 120° ve x ise x kaçtır? Kolay
Çözüm360 − 300 = 60°.
2. Bir dikdörtgenin köşegenlerinden biri 13 cm ise diğeri kaç cm’dir? Orta
ÇözümDikdörtgende köşegenler eşittir: 13 cm.
3. “Köşegenleri birbirine dik ve eşit olan paralelkenar” hangi dörtgendir? Neden? Zor
ÇözümKöşegenleri dik olduğu için eşkenar dörtgen, eşit olduğu için dikdörtgen özelliği taşır; ikisi birden olan dörtgen karedir.
Sık yapılan hatalar
- Her paralelkenarın dikdörtgen olduğunu sanmak.
- Dörtgen iç açıları toplamını 180° almak.
- Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin eşit olduğunu sanmak (dik keserler ama genelde eşit değildir).
Biliyor muydun?
Satranç tahtası 64 kareden oluşur; ama içinde farklı boyutlarda toplam 204 kare saklıdır! (1×1, 2×2, … 8×8 kareleri sayarsan.)