Sayı ve şekil örüntülerinin kuralını cebirsel ifadeyle yazma; istenen terimi bulma.
Örüntüden cebire
Bir sayı örüntüsünün genel kuralını (n. terimini) cebirsel ifadeyle yazarsak istediğimiz terimi hemen buluruz.
3, 7, 11, 15, …
- Ardışık terimler arasındaki fark 4 → kural 4n + ?
- n = 1 için 4 · 1 = 4, ama terim 3 → 4n − 1
- Kontrol: n = 2 → 7 ✓, n = 3 → 11 ✓
100. terim: 4 · 100 − 1 = 399
Tablo ile kural bulmak
| Adım (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | n |
|---|---|---|---|---|---|
| Terim | 5 | 8 | 11 | 14 | 3n + 2 |
Yöntem:
- Fark sabit mi? (Burada 3) → n’nin katsayısı farka eşittir.
- İlk terimden katsayıyı çıkar: 5 − 3 = 2 → sabit terim.
⚠️ Fark sabit değilse (1, 4, 9, 16, …) kural farklıdır: Bu örüntü n²’dir (kare sayılar).
Şekil örüntüleri
Kibrit çöpleriyle yan yana üçgenler yapalım:
- 1 üçgen → 3 çöp
- 2 üçgen → 5 çöp
- 3 üçgen → 7 çöp
Her yeni üçgen için 2 çöp eklenir → kural: 2n + 1.
- 20 üçgen için: 2 · 20 + 1 = 41 çöp
Tersten soru: 61 çöple kaç üçgen yapılır? 2n + 1 = 61 → n = 30.
Sayılar arasındaki ilişkiler
Örüntüler günlük hayatta her yerdedir:
- Taksi ücreti: Açılış 40 TL + her km 25 TL → n km için 25n + 40
- Masa düzeni: Uç uca eklenen kare masaların etrafına oturan kişi: 1 masa 4, 2 masa 6, 3 masa 8 → 2n + 2
- Biriktirme: 50 TL ile başlayıp her hafta 20 TL eklemek → n. hafta sonunda 20n + 50
Kavramlar
- Genel kural
- Bir örüntünün n. terimini veren cebirsel ifade.
- Ardışık terim
- Örüntüde art arda gelen terimler.
- Kare sayı
- n × n biçimindeki sayı: 1, 4, 9, 16…
- Genel kural: n. terimi veren ifade
- Fark sabitse kural “fark × n + düzeltme”
- Düzeltme = ilk terim − fark
- Kural bulunca istenen terim hemen bulunur
- Tersten: terim verilirse denklem kur
- Fark sabit değilse kural farklıdır (n² gibi)
Örnek soru ve çözümü
6, 11, 16, 21, … örüntüsünün genel kuralını yazınız ve 50. terimi bulunuz.
Fark 5 → 5n + 1 (6 − 5 = 1). 50. terim: 5 · 50 + 1 = 251.
Çözümlü örnekler
1. Genel kuralı 2n + 3 olan örüntünün ilk dört terimi nedir? Kolay
Çözüm5, 7, 9, 11.
2. 2, 9, 16, 23, … örüntüsünde kaçıncı terim 100’dür? Orta
ÇözümKural 7n − 5. 7n − 5 = 100 → n = 15.
3. Uç uca eklenen kare masaların etrafına 2n + 2 kişi oturuyor. 50 kişilik bir grup için en az kaç masa gerekir? Zor
Çözüm2n + 2 ≥ 50 → n ≥ 24. En az 24 masa (24 masada tam 50 kişi oturur).
Sık yapılan hatalar
- Katsayıyı ilk terim sanmak (3, 7, 11 için 3n değil 4n − 1).
- Kuralı yalnız ilk terimle kontrol etmek.
- Tersten sorularda denklem kurmayı unutmak.
Biliyor muydun?
Genç Gauss’un 1’den 100’e kadar toplamı birkaç saniyede bulduğu anlatılır: 1 + 100, 2 + 99, … her çift 101; 50 çift → 5050.