Eşkenar dörtgenin ve yamuğun özellikleri, alan bağıntıları ve dörtgenlerle ilgili problemler.
Eşkenar dörtgen
Dört kenarı eşit uzunlukta olan dörtgene eşkenar dörtgen denir.
- Karşılıklı kenarları paraleldir.
- Karşılıklı açıları eştir.
- Köşegenleri birbirini dik keser ve birbirini ortalar.
- Köşegenler aynı zamanda açıortaydır.
💡 Kare, bütün açıları dik olan özel bir eşkenar dörtgendir.
Eşkenar dörtgenin alanı
Eşkenar dörtgenin alanı iki yolla bulunabilir:
1. Köşegenlerle: Köşegen uzunlukları e ve f ise Alan = (e · f) / 2
Neden? Eşkenar dörtgeni, köşegenleri kenar kabul eden bir dikdörtgenin içine çizersek, dikdörtgenin tam yarısını kapladığını görürüz.
2. Taban ve yükseklikle: Kenar uzunluğu a, bu kenara ait yükseklik h ise Alan = a · h
Örnek: Köşegenleri 10 cm ve 6 cm olan eşkenar dörtgenin alanı: (10 · 6) / 2 = 30 cm².
Yamuk
Yalnızca iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir.
- Paralel kenarlara taban (alt taban a, üst taban c) denir.
- Tabanlar arasındaki dik uzaklık yükseklik (h)tır.
- Paralel olmayan kenarlar eşitse ikizkenar yamuk, bir kenar tabanlara dikse dik yamuk denir.
Yamuğun alanı = ((a + c) / 2) · h
Yani tabanların ortalaması ile yüksekliğin çarpımı.
Neden? İki eş yamuğu ters çevirip birleştirirsek tabanı (a + c), yüksekliği h olan bir paralelkenar elde ederiz. Bir yamuk, bu paralelkenarın yarısıdır.
Alan problemleri
Örnek 1: Tabanları 8 cm ve 4 cm, yüksekliği 3 cm olan yamuğun alanı: (8 + 4)/2 · 3 = 6 · 3 = 18 cm².
Örnek 2: Alanı 60 cm², tabanları 9 cm ve 11 cm olan yamuğun yüksekliği:
- (9 + 11)/2 · h = 60 → 10h = 60 → h = 6 cm
Örnek 3: Bir bahçe yamuk biçimindedir: tabanları 25 m ve 15 m, yüksekliği 12 m. Metrekaresine 2 kg gübre atılacaksa kaç kg gübre gerekir?
- Alan: (25 + 15)/2 · 12 = 240 m² → 240 · 2 = 480 kg
💡 Karmaşık şekillerin alanını bulmak için şekli bildiğin parçalara (dikdörtgen, üçgen, yamuk) ayır ve alanları topla.
Kavramlar
- Eşkenar dörtgen
- Dört kenarı eşit dörtgen.
- Yamuk
- Yalnızca iki kenarı paralel dörtgen.
- Köşegen
- Dörtgenin karşılıklı köşelerini birleştiren doğru parçası.
- Taban (yamukta)
- Yamuğun paralel kenarlarından her biri.
- Eşkenar dörtgen: 4 kenarı eşit, köşegenler dik
- Eşkenar dörtgen alanı = (e · f)/2 = a · h
- Yamuk: yalnızca iki kenarı paralel
- Yamuk alanı = (a + c)/2 · h
- İki eş yamuk bir paralelkenar oluşturur
- Karmaşık şekilleri parçalara ayır
Örnek soru ve çözümü
Köşegen uzunlukları 14 cm ve 9 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²’dir?
(14 · 9) / 2 = 126 / 2 = 63 cm².
Çözümlü örnekler
1. Tabanları 10 cm ve 6 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı kaç cm²’dir? Kolay
Çözüm(10 + 6)/2 · 5 = 8 · 5 = 40 cm².
2. Alanı 54 cm² olan eşkenar dörtgenin bir köşegeni 12 cm ise diğer köşegeni kaç cm’dir? Orta
Çözüm(12 · f)/2 = 54 → 6f = 54 → f = 9 cm.
3. Bir yamuğun üst tabanı alt tabanının yarısıdır. Yüksekliği 8 cm ve alanı 72 cm² ise alt tabanı kaç cm’dir? Zor
ÇözümAlt taban 2x, üst taban x: (2x + x)/2 · 8 = 72 → 3x · 4 = 72 → x = 6. Alt taban 12 cm.
Sık yapılan hatalar
- Eşkenar dörtgen alanında köşegenlerin çarpımını 2’ye bölmeyi unutmak.
- Yamukta paralel olmayan kenarı yükseklik sanmak.
- Tabanları toplayıp 2’ye bölmeden yükseklikle çarpmak.
Biliyor muydun?
Uçurtmaların çoğu “deltoid” denen, eşkenar dörtgene benzeyen bir şekildedir. Onun da alanı köşegenlerin çarpımının yarısıdır!