Çember ve dairenin elemanları, çemberin uzunluğu, dairenin alanı, merkez açı ve daire diliminin alanı.
Çember ve daire
- Çember: Bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğridir. Yalnızca “sınır çizgisi”dir.
- Daire: Çember ile iç bölgesinin birleşimidir. Bir pizza dilimi de, bir madeni para da daire biçimindedir.
Elemanlar:
- Yarıçap (r): Merkezden çember üzerindeki bir noktaya uzaklık.
- Çap (d): Merkezden geçen ve uçları çember üzerinde olan doğru parçası: d = 2r.
- Kiriş: Uçları çember üzerinde olan doğru parçası (çap, en uzun kiriştir).
- Yay: Çemberin iki nokta arasındaki parçası.
Çemberin uzunluğu ve π
Hangi büyüklükte çember çizersek çizelim, çevre ÷ çap hep aynı sayıyı verir: π (pi) ≈ 3,14.
Çemberin uzunluğu = 2 · π · r = π · d
Örnek: Yarıçapı 5 cm olan çemberin uzunluğu: 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm.
💡 π, sonsuza kadar devam eden ve tekrar etmeyen bir sayıdır: 3,14159265… Hesaplamalarda genellikle 3 ya da 3,14 alınır; soruda hangisi istenmişse onu kullan.
Dairenin alanı
Bir daireyi çok sayıda eş dilime bölüp dilimleri ters-düz dizersek yaklaşık bir dikdörtgen elde ederiz:
- Dikdörtgenin uzun kenarı çemberin yarısı: π · r
- Kısa kenarı yarıçap: r
Dairenin alanı = π · r²
Örnek: Yarıçapı 6 cm olan dairenin alanı (π = 3): 3 · 6² = 108 cm².
⚠️ Alan hesaplarken yarıçapın karesi alınır. Çap verildiyse önce ikiye böl! Çapı 10 cm olan dairede r = 5 → alan = π · 25.
Merkez açı ve daire dilimi
Köşesi dairenin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Merkez açının iki kolu ve aradaki yay, bir daire dilimi oluşturur.
Tam daire 360°’dir. Merkez açısı α olan dilim, dairenin α/360’ı kadardır:
Daire diliminin alanı = π · r² · (α / 360)
Örnek: r = 4 cm, α = 90° (çeyrek daire), π = 3: 3 · 16 · 90/360 = 48 · 1/4 = 12 cm².
| Merkez açı | Dairenin kaçta kaçı? |
|---|---|
| 180° | 1/2 |
| 120° | 1/3 |
| 90° | 1/4 |
| 60° | 1/6 |
| 45° | 1/8 |
Kavramlar
- Yarıçap
- Merkezden çember üzerindeki bir noktaya olan uzaklık.
- Çap
- Merkezden geçen en uzun kiriş; d = 2r.
- π (pi)
- Her çemberde çevrenin çapa oranı; yaklaşık 3,14.
- Merkez açı
- Köşesi dairenin merkezinde olan açı.
- Daire dilimi
- Merkez açının kolları ve yay arasında kalan bölge.
- Çember: sınır · daire: sınır + iç bölge
- d = 2r
- Çemberin uzunluğu = 2πr
- Dairenin alanı = πr²
- Daire dilimi alanı = πr² · α/360
- π ≈ 3,14 (soruda 3 istenebilir)
Örnek soru ve çözümü
Çapı 12 cm olan bir pizzanın 60°’lik diliminin alanı kaç cm²’dir? (π = 3)
r = 6 cm. Dairenin alanı: 3 · 36 = 108 cm². 60° → 1/6. Dilim: 108 ÷ 6 = 18 cm².
Çözümlü örnekler
1. Yarıçapı 10 cm olan dairenin alanı kaç cm²’dir? (π = 3,14) Kolay
Çözüm3,14 · 100 = 314 cm².
2. Bir bisiklet tekerleğinin yarıçapı 35 cm’dir. Tekerlek 100 tur attığında bisiklet kaç metre yol alır? (π = 3) Orta
ÇözümBir tur: 2 · 3 · 35 = 210 cm. 100 tur: 21 000 cm = 210 m.
3. Yarıçapı 6 cm olan bir dairenin içinden yarıçapı 2 cm olan bir daire kesilip çıkarılıyor (aynı merkezli). Kalan halkanın alanı kaç cm²’dir? (π = 3) Zor
ÇözümBüyük: 3 · 36 = 108. Küçük: 3 · 4 = 12. Halka: 108 − 12 = 96 cm².
Sık yapılan hatalar
- Alan formülünde çapı kullanmak (π·d²).
- Çevre ile alan formüllerini karıştırmak.
- Daire dilimi hesabında 360’a bölmeyi unutmak.
- Çember ile daireyi aynı şey sanmak.
Biliyor muydun?
Her yıl 14 Mart (3/14) dünyada “Pi Günü” olarak kutlanır. π’nin bilgisayarlarla 100 trilyondan fazla basamağı hesaplandı!