Pergel ve ölçüsüz cetvelle doğru parçasının orta dikmesini ve bir açının açıortayını inşa etme.
İnşa nedir?
Matematikte inşa, bir şekli yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak çizmektir. Açıölçer ya da cetveldeki sayılar kullanılmaz.
- Pergel eşit uzaklıkları taşımaya ve çember (yay) çizmeye yarar.
- Ölçüsüz cetvel yalnızca iki noktayı birleştirmeye yarar.
İnşa, Antik Yunan’dan beri matematikçilerin en sevdiği bulmacalardan biridir: “Yalnızca bu iki araçla neler çizebiliriz?”
Orta dikme inşası
Bir doğru parçasını tam ortasından ve dik olarak kesen doğruya orta dikme denir.
AB doğru parçasının orta dikmesini inşa edelim:
- Pergeli AB’nin yarısından daha geniş açalım.
- Pergelin sivri ucunu A’ya koyup AB’nin üstünde ve altında birer yay çizelim.
- Pergelin açıklığını bozmadan aynı işlemi B’den yapalım.
- Yayların kesiştiği iki noktayı (C ve D) ölçüsüz cetvelle birleştirelim.
CD doğrusu AB’nin orta dikmesidir; AB’yi M noktasında iki eş parçaya böler ve AB’ye diktir.
💡 Orta dikmenin üzerindeki her nokta A ve B’ye eşit uzaklıktadır. İki köye eşit uzaklıkta bir okul yapılacaksa okul, bu iki köyü birleştiren doğru parçasının orta dikmesi üzerine kurulmalıdır.
Açıortay inşası
Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışına açıortay denir.
A açısının açıortayını inşa edelim:
- Pergelin sivri ucunu açının köşesine (A) koyup açının iki kolunu da kesen bir yay çizelim. Kesim noktaları B ve C olsun.
- Pergeli B’ye koyup açının içine bir yay çizelim.
- Aynı açıklıkla pergeli C’ye koyup ilk yayı kesen bir yay daha çizelim. Kesim noktası D olsun.
- A ile D’yi birleştirelim.
AD ışını A açısının açıortayıdır: m(BAD) = m(DAC).
💡 Açıortayın üzerindeki her nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır.
İnşalar ve yansıma
Orta dikme ile yansıma dönüşümü arasında güçlü bir bağ vardır: Bir A noktası bir doğruya göre yansıtıldığında A ile görüntüsü A′ arasındaki doğru parçasının orta dikmesi, yansıma doğrusudur.
- Yansıma doğrusu, A ile A′’nü birleştiren doğru parçasına diktir.
- A ve A′, yansıma doğrusuna eşit uzaklıktadır.
Bu yüzden bir nokta ile görüntüsü verildiğinde, aralarındaki doğru parçasının orta dikmesini inşa ederek yansıma doğrusunu bulabiliriz.
Kavramlar
- İnşa
- Bir şekli yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvelle çizme.
- Orta dikme
- Bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve ona dik olan doğru.
- Açıortay
- Bir açıyı iki eş açıya ayıran ışın.
- Yay
- Çemberin bir parçası; pergelle çizilir.
- İnşa: yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel
- Orta dikme: doğru parçasını ortadan ve dik keser
- Orta dikme üzerindeki noktalar uç noktalara eşit uzaktır
- Açıortay: açıyı iki eş açıya böler
- Açıortay üzerindeki noktalar kollara eşit uzaktır
- Pergelin açıklığı inşa boyunca bozulmamalı
Örnek soru ve çözümü
Orta dikme inşasında pergel neden doğru parçasının yarısından daha geniş açılır?
Pergel yarıdan dar açılırsa A’dan ve B’den çizilen yaylar birbirine ulaşamaz ve kesişmez; kesişme noktası olmadan orta dikme çizilemez.
Çözümlü örnekler
1. 80°’lik bir açının açıortayı bu açıyı hangi ölçülerde iki açıya ayırır? Kolay
ÇözümAçıortay eş açılar oluşturur: 40° ve 40°.
2. İki köy arasındaki yolun orta dikmesi üzerindeki bir P noktası köylerden birine 7 km uzaklıktaysa diğerine kaç km uzaklıktadır? Orta
ÇözümOrta dikme üzerindeki her nokta uç noktalara eşit uzaktır: 7 km.
3. Bir parkın iki girişi A ve B’dir. Parka bir çeşme konacak; çeşme her iki girişe eşit uzaklıkta ve parkın kenarı olan d doğrusu üzerinde olmalı. Çeşmenin yeri nasıl bulunur? Zor
ÇözümAB doğru parçasının orta dikmesi inşa edilir. Orta dikmenin d doğrusunu kestiği nokta, hem d üzerinde hem de A ile B’ye eşit uzaklıktadır; çeşme oraya konur.
Sık yapılan hatalar
- İnşada açıölçer veya cetvelin sayılarını kullanmak.
- B’den yay çizerken pergelin açıklığını değiştirmek.
- Orta dikme ile kenarortayı karıştırmak (orta dikme mutlaka diktir).
Biliyor muydun?
Antik Yunanlılar pergel ve cetvelle bir açıyı üç eş parçaya bölmeye uğraştı. Bunun imkânsız olduğu ancak 1837’de kanıtlandı!